2大分大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) 実数係数の二次方程式で $1-\sqrt3 i$ が解なら、その共役 $1+\sqrt3 i$ も解である。したがって、例えばモニックな方程式は $$(x-(1-\sqrt3 i))(x-(1+\sqrt3 i))=x^2-2x+4=0.$$

(2) $|x|=2$、偏角は $-\pi/3$ なので $$\displaystyle x=2\left(\cos\left(-\frac\pi3\right)+i\sin\left(-\frac\pi3\right)\right).$$ ド・モアブルの定理より $$\displaystyle \boxed{x^n=2^n\left(\cos\frac{n\pi}{3}-i\sin\frac{n\pi}{3}\right)}\qquad(n=1,2,\ldots).$$

(3) $(-2)^{-k}x^k=q^k$ とおくと $$\displaystyle q=-\frac{x}{2}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i =\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}.$$ よって $q^3=1$、かつ $1+q+q^2=0$。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{3m}(-2)^{-k}x^k =\sum\limits _{j=0}^{m-1}(q^{3j+1}+q^{3j+2}+q^{3j+3}) =\sum\limits _{j=0}^{m-1}q^{3j}(q+q^2+1) =\boxed{0}.$$