3東京大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $z$ が垂直二等分線 $L$ 上にある条件は $|z|=|z-\alpha|$ である。両辺を2乗して整理すると

$$z\overline{\alpha}+\overline{z}\alpha=|\alpha|^2.$$

$w=1/z$ を代入し、$|w|^2$ を掛けると

$$\overline{\alpha}\,\overline{w}+\alpha w=|\alpha|^2|w|^2,$$

したがって

$$\displaystyle \left|w-\frac1\alpha\right|^2=\frac1{|\alpha|^2}.$$

よって円の中心は $1/\alpha$、半径は $1/|\alpha|$ である。この円は原点を通るが、有限の $z$ に対して $w=1/z\ne0$ なので、軌跡から原点を除く。

(2) $\displaystyle \beta=e^{2\pi i/3}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$、$\displaystyle \beta^2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ である。線分上の点は $\displaystyle z=-\frac12+it$（$\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2}\le t\le\frac{\sqrt3}{2}$）と表せる。$w=u+iv=1/z$ とおくと、$z=1/w$ より

$$\displaystyle \operatorname{Re}\frac1w=\frac{u}{u^2+v^2}=-\frac12,$$

したがって

$$(u+1)^2+v^2=1.$$

また

$$\displaystyle u=\operatorname{Re}\frac1{-\frac12+it}=-\frac{1/2}{1/4+t^2}\le-\frac12,$$

である。逆にこの円上で $\displaystyle u\le-\frac12$ の部分は上の $t$ の範囲に対応する。よって軌跡は中心 $(-1,0)$、半径1の円のうち、直線 $\displaystyle u=-\frac12$ の左側にある240度の大弧である。端点は $1/\beta=\beta^2$ と $1/\beta^2=\beta$ で、弧は $(-2,0)$ を通る。図示するときはこの円弧を端点込みで描く。