5東京大学 2017年 数学 第5問解答・解説

Cとの交点のx座標は $x^2-ax+(k-b)=0$ の解である。接する条件は判別式が0となることだから、$$\displaystyle a^2-4(k-b)=0,\qquad b=k-\frac{a^2}{4}.$$ Dとの交点では $x=y^2+k$ を $y=ax+b$ に代入して $ay^2-y+(ak+b)=0$ を得る。まず $a=0$ なら直線は水平だが、Dを $x=t^2+k,\ y=t$ と表したとき接線方向は $(2t,1)$ で水平ではない。ゆえに $a\ne0$。したがって、この二次方程式の判別式を0とする接線条件は $1-4a(ak+b)=0$ である。上の $b$ を代入して整理すると $$(a+1)(a^2-a+1-4ka)=0.$$ (1)では $a\ne-1$ なので $4ka=a^2-a+1$。また $a=0$ はこの式に反する。したがって $$\displaystyle k=\frac{a^2-a+1}{4a},\qquad b=k-\frac{a^2}{4}=\frac{(1-a)(a^2+1)}{4a}.$$ (2)では傾き $a=2$ を代入して $k=3/8$。この値に対する共通接線の傾きは $$\displaystyle (a+1)\left(a^2-\frac52a+1\right)=\frac12(a+1)(2a-1)(a-2)=0$$ の解であり、$a=-1,1/2,2$ の3つである。それぞれ $b=k-a^2/4$ より $b=1/8,5/16,-5/8$ を得る。よって共通接線は $y=-x+1/8,\ y=x/2+5/16,\ y=2x-5/8$ の3本である。これらは傾きが異なるので相異なる。さらにCの点$(t,t^2+k)$における接線の傾きは$2t$で有限だから垂直接線はなく、上の必要十分な条件の全解を列挙したこれらが共通接線の全てである。