I慶應義塾大学 2000年 数学 第I問解答・解説

(1) $P$における接線の傾きは$2t$、法線の傾きは$-1/(2t)$。法線と放物線の交点の$x$座標は $$\displaystyle x^2-t^2=-\frac{x-t}{2t},\quad (x-t)\left(x+t+\frac1{2t}\right)=0.$$ 従って$Q$の$x$座標は$-t-1/(2t)$。$t<0$では$P$と異なる。中点は $$\displaystyle R\left(-\frac1{4t},\ t^2+\frac12+\frac1{8t^2}\right).$$ (2) $x=-1/(4t)>0$を代入して $$\displaystyle f(x)=2x^2+\frac1{16x^2}+\frac12\quad(x>0).$$ 逆に任意の$x>0$に対し$t=-1/(4x)<0$があるので、軌跡の余分な点はない。 (3) $f(x)=5/4$は$32x^4-12x^2+1=0$、従って$x^2=1/8,1/4$。$a=\sqrt2/4,b=1/2$。 (4) $a<x<b$で$f(x)<5/4$なので面積は $$\displaystyle \int_{\sqrt2/4}^{1/2}\left(\frac34-2x^2-\frac1{16x^2}\right)dx =\left[\frac{3x}4-\frac{2x^3}3+\frac1{16x}\right]_{\sqrt2/4}^{1/2} =\frac5{12}-\frac{7\sqrt2}{24}=\frac{10-7\sqrt2}{24}.$$