IV慶應義塾大学 2000年 数学 第IV問解答・解説

(1) 区分の切替点は $\displaystyle x=\frac13,\frac12,\frac23$ である。

$\displaystyle x<\frac13$ では $\displaystyle f^2(x)=\frac{x}{1-2x}$。これが $x$ に等しいのは $x=0$。

$\displaystyle \frac13\le x<\frac12$ では $\displaystyle f^2(x)=3-\frac1x$。よって $x^2-3x+1=0$ となり、この区間に入る根は $\displaystyle \frac{3-\sqrt5}{2}$。

$\displaystyle \frac12\le x<\frac23$ では $\displaystyle f^2(x)=\frac{2x-1}{1-x}$。したがって $x^2+x-1=0$ となり、この区間に入る根は $\displaystyle \frac{\sqrt5-1}{2}$。

$\displaystyle x\ge\frac23$ では $\displaystyle f^2(x)=\frac{3x-2}{2x-1}$。方程式は $(x-1)^2=0$ となるので $x=1$。以上から解は $$\displaystyle 0,\quad \frac{3-\sqrt5}{2},\quad \frac{\sqrt5-1}{2},\quad 1.$$

(2) $f(x)=r$ が有理数であるとする。$\displaystyle x<\frac12$ の枝では $\displaystyle r=\frac{x}{1-x}$ より $\displaystyle x=\frac{r}{1+r}$。$\displaystyle x\ge\frac12$ の枝では $\displaystyle r=\frac{2x-1}{x}$ より $\displaystyle x=\frac{1}{2-r}$。各枝で $r=-1$ または $r=2$ は起きないから、いずれも $r$ が有理数なら $x$ も有理数である。$f^k(x)=0$ なら $f^{k-1}(x)$ は有理数から始まり、この逆向きの議論を $k$ 回繰り返して $x$ が有理数であることを得る。

(3) $P(n)$ を「$0<p<q\le n$ なら、ある自然数 $k$ について $f^k(p/q)=0$」とする。$n=1$ は該当する $p,q$ がなく成立する。$P(n-1)$ を仮定する。

$2p=q$ なら $f(p/q)=0$。$2p<q$ なら $$\displaystyle f\left(\frac pq\right)=\frac{p}{q-p},\qquad 0<p<q-p<q\le n,$$ だから分母 $q-p\le n-1$ となり、帰納法の仮定を適用できる。$2p>q$ なら $$\displaystyle f\left(\frac pq\right)=\frac{2p-q}{p},\qquad 0<2p-q<p<q\le n,$$ なので、こちらも分母 $p\le n-1$ に帰納法の仮定を適用できる。いずれも最初の1回を加えれば $p/q$ から有限回で $0$ に至る。よって $P(n)$ が成り立ち、数学的帰納法により結論を得る。

(1) 区分の切替は x=1/2 のほか、x<1/2 のとき f(x)=1/2 となる x=1/3、x≧1/2 のとき f(x)=1/2 となる x=2/3 で起きる。x<1/3 では f²(x)=x/(1−2x) なので解は x=0。1/3≦x<1/2 では f²(x)=3−1/x となり x²−3x+1=0、範囲に入る根は (3−√5)/2。1/2≦x<2/3 では f²(x)=(2x−1)/(1−x) となり x²+x−1=0、範囲に入る根は (√5−1)/2。x≧2/3 では f²(x)=(3x−2)/(2x−1) となり (x−1)²=0、解は1。境界値も各区間に含めてあり、解はこれら4つ。 (2) f(x)=r が有理数なら、x<1/2の枝では x=r/(1+r)、x≧1/2の枝では x=1/(2−r)。それぞれの分母は実際の枝の値域上で0にならないため、有理なrから有理なxが得られる。$f^k(x)=0$から逆にたどり、k回この事実を用いるとxは有理数。 (3) P(n): 0<p<q≦nならp/qの反復で0に到達する、とする。n=1は対象がなく成立。P(n−1)を仮定する。2p=qなら f(p/q)=0。2p<qなら f(p/q)=p/(q−p) で、0<p<q−p<q≦nだから分母q−pはn−1以下。帰納法の仮定からこの値は有限回で0となる。2p>qなら f(p/q)=(2p−q)/p で、0<2p−q<p<q≦nだから分母pはn−1以下であり、やはり帰納法の仮定を適用できる。いずれも最初の1回を加えれば元のp/qも有限回で0に達する。よってP(n)が成り立つ。