2金沢大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) $t=\sqrt{1+3x^2}$、$y=2x-t$ とおく。$x>1$ なら $x<t<2x$ だから $0<y<x$ である。また $$x-2y=2t-3x>0$$ である。実際、$4t^2-9x^2=4+3x^2>0$ で $2t+3x>0$ だから $2t>3x$ である。さらに $t=2x-y$ を $t^2=1+3x^2$ に代入すると $$(x-2y)^2=1+3y^2$$ を得る。$x-2y>0$ より $x-2y=\sqrt{1+3y^2}$ である。$s=\sqrt{1+3y^2}$ とおけば $x=s+2y$。このとき $$A(y)B= \begin{pmatrix}2s+3y&3s+6y\\s+2y&3y+2s\end{pmatrix}.$$ また $$(2s+3y)^2-(1+3x^2)=s^2-1-3y^2=0.$$ 両辺の平方根は正なので $2s+3y=\sqrt{1+3x^2}$。ほかの成分も $3s+6y=3x$、$s+2y=x$、$3y+2s=2s+3y$ となる。したがって $A(y)B=A(x)$ であり、(1)が示された。

(2) $s=\sqrt{1+3x^2}$ とおく。$A(x)$ の成分が自然数なので $s,x$ は正整数で、 $$s^2-3x^2=1.$$ この条件を満たす正整数 $x$ について、$A(x)$ が $B$ の正整数乗になることを $x$ に関する帰納法で示す。$x=1$ のとき $s=2$ で $A(1)=B$。$x>1$ とし $$s_1=2s-3x,\qquad x_1=2x-s$$ とおく。$s^2=1+3x^2$ より $s>x$、$s>\sqrt3x$、また $x>1$ より $s<2x$。したがって $s_1>0$、$0<x_1<x$ である。直接計算すると $$s_1^2-3x_1^2=1,$$ ゆえに $s_1=\sqrt{1+3x_1^2}$ であり、帰納法の仮定から $A(x_1)=B^m$ となる正整数 $m$ がある。一方、定義を代入して $$BA(x_1)= \begin{pmatrix}2s_1+3x_1&3s_1+6x_1\\s_1+2x_1&3x_1+2s_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s&3x\\x&s\end{pmatrix}=A(x).$$ よって $A(x)=BA(x_1)=B^{m+1}$。$x_1<x$ なので帰納法が成立し、求める自然数 $n$ が存在する。