3金沢大学 2002年 数学 第3問解答・解説

各点の座標は $$\begin{gathered}P=(r\cos\theta,r\sin\theta),\ Q=(r^{-1}\cos\theta,-r^{-1}\sin\theta),\\ R=(r\cos\theta,-r\sin\theta),\ S=(r^{-1}\cos\theta,r^{-1}\sin\theta).\end{gathered}$$ (1) $r>1$から半径$r$の$P,R$は半径$r^{-1}$の$Q,S$と異なる。また$\sin\theta>0$より各組の虚部は逆符号で異なり、4点は相異なる。 (2) $\cos\theta>0,r-r^{-1}>0$より傾きが定義され、 $$\displaystyle m_{PQ}=\frac{r+r^{-1}}{r-r^{-1}}\tan\theta>0,\qquad m_{RS}=-m_{PQ}.$$ 直交条件は$m_{PQ}^2=1$、従って$\tan\theta=(r^2-1)/(r^2+1)$。$r>1$に対応するのは$0<\tan\theta<1$だから $$\displaystyle r=\sqrt{\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}},\qquad (\alpha,\beta)=(0,\pi/4).$$ (3) $\ell$は$y=x$。$t=\tan\theta$（$0<t<1$）として点と直線の距離を計算すると $$\displaystyle d=\frac{r(\cos\theta-\sin\theta)}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{1-t^2}{2(1+t^2)}}.$$ $\theta\to\pi/4-$で$t\to1-$なので$d\to0$。