点 P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) A ( 0 , − a ) A(0,-a) A ( 0 , − a ) x 2 + ( y + a ) 2 \sqrt{x^2+(y+a)^2} x 2 + ( y + a ) 2 ℓ : y = a \ell:y=a ℓ : y = a ∣ y − a ∣ |y-a| ∣ y − a ∣ x 2 + ( y + a ) 2 + ∣ y − a ∣ = 2 b . \sqrt{x^2+(y+a)^2}+|y-a|=2b. x 2 + ( y + a ) 2 + ∣ y − a ∣ = 2 b .
(1) y ≧ a y\ge a y ≧ a x 2 + ( y + a ) 2 = 2 b − y + a . \sqrt{x^2+(y+a)^2}=2b-y+a. x 2 + ( y + a ) 2 = 2 b − y + a . x 2 = ( 2 b − y + a ) 2 − ( y + a ) 2 = { ( 2 b − y + a ) − ( y + a ) } { ( 2 b − y + a ) + ( y + a ) } = 4 ( a + b ) ( b − y ) . \begin{aligned}
x^2&=(2b-y+a)^2-(y+a)^2\\
&=\{(2b-y+a)-(y+a)\}\{(2b-y+a)+(y+a)\}\\
&=4(a+b)(b-y).
\end{aligned} x 2 = ( 2 b − y + a ) 2 − ( y + a ) 2 = {( 2 b − y + a ) − ( y + a )} {( 2 b − y + a ) + ( y + a )} = 4 ( a + b ) ( b − y ) . y = b − x 2 4 ( a + b ) . \displaystyle
\boxed{y=b-\frac{x^2}{4(a+b)}}. y = b − 4 ( a + b ) x 2 . y ≧ a y\ge a y ≧ a x 2 ≦ 4 ( a + b ) ( b − a ) = 4 ( b 2 − a 2 ) x^2\le4(a+b)(b-a)=4(b^2-a^2) x 2 ≦ 4 ( a + b ) ( b − a ) = 4 ( b 2 − a 2 ) ∣ x ∣ ≦ 2 b 2 − a 2 |x|\le2\sqrt{b^2-a^2} ∣ x ∣ ≦ 2 b 2 − a 2 y ≦ b y\le b y ≦ b 2 b − y + a > 0 2b-y+a>0 2 b − y + a > 0
(2) y ≦ a y\le a y ≦ a x 2 + ( y + a ) 2 = 2 b − a + y . \sqrt{x^2+(y+a)^2}=2b-a+y. x 2 + ( y + a ) 2 = 2 b − a + y . x 2 = ( 2 b − a + y ) 2 − ( y + a ) 2 = 4 ( b − a ) ( y + b ) , y = x 2 4 ( b − a ) − b . \displaystyle
x^2=(2b-a+y)^2-(y+a)^2=4(b-a)(y+b),
\qquad y=\frac{x^2}{4(b-a)}-b. x 2 = ( 2 b − a + y ) 2 − ( y + a ) 2 = 4 ( b − a ) ( y + b ) , y = 4 ( b − a ) x 2 − b . ∣ x ∣ ≦ 2 b 2 − a 2 |x|\le2\sqrt{b^2-a^2} ∣ x ∣ ≦ 2 b 2 − a 2 y ≧ − b y\ge-b y ≧ − b 2 b − a + y ≧ b − a > 0 2b-a+y\ge b-a>0 2 b − a + y ≧ b − a > 0 C C C y = b − x 2 4 ( a + b ) , y = x 2 4 ( b − a ) − b ( − 2 b 2 − a 2 ≦ x ≦ 2 b 2 − a 2 ) \displaystyle
y=b-\frac{x^2}{4(a+b)},\qquad y=\frac{x^2}{4(b-a)}-b
\quad\left(-2\sqrt{b^2-a^2}\le x\le2\sqrt{b^2-a^2}\right) y = b − 4 ( a + b ) x 2 , y = 4 ( b − a ) x 2 − b ( − 2 b 2 − a 2 ≦ x ≦ 2 b 2 − a 2 ) ( ± 2 b 2 − a 2 , a ) \left(\pm2\sqrt{b^2-a^2},a\right) ( ± 2 b 2 − a 2 , a ) ( 0 , b ) (0,b) ( 0 , b ) ( 0 , − b ) (0,-b) ( 0 , − b )
概形（寸法は比 a / b a/b a / b
(3) y y y y y y r ( y ) r(y) r ( y ) − b ≦ y ≦ a -b\le y\le a − b ≦ y ≦ a r ( y ) 2 = 4 ( b − a ) ( y + b ) r(y)^2=4(b-a)(y+b) r ( y ) 2 = 4 ( b − a ) ( y + b ) a ≦ y ≦ b a\le y\le b a ≦ y ≦ b r ( y ) 2 = 4 ( a + b ) ( b − y ) r(y)^2=4(a+b)(b-y) r ( y ) 2 = 4 ( a + b ) ( b − y ) V = π ∫ − b a 4 ( b − a ) ( y + b ) d y + π ∫ a b 4 ( a + b ) ( b − y ) d y = 2 π ( b − a ) ( a + b ) 2 + 2 π ( a + b ) ( b − a ) 2 = 4 π b ( b 2 − a 2 ) . \displaystyle
\begin{aligned}
V&=\pi\int_{-b}^{a}4(b-a)(y+b)\,dy
+\pi\int_a^b4(a+b)(b-y)\,dy\\
&=2\pi(b-a)(a+b)^2+2\pi(a+b)(b-a)^2\\
&=\boxed{4\pi b(b^2-a^2)}.
\end{aligned} V = π ∫ − b a 4 ( b − a ) ( y + b ) d y + π ∫ a b 4 ( a + b ) ( b − y ) d y = 2 π ( b − a ) ( a + b ) 2 + 2 π ( a + b ) ( b − a ) 2 = 4 π b ( b 2 − a 2 ) .
距離条件を y≧a と y≦a に分けて二つの放物線弧を求める。接続点と頂点で概形を特定し、回転体の水平断面を円板として上下二つに分けて積分する。
