1札幌医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) ユークリッドの互除法で $629-481=148,\ 481=3\cdot148+37$ より $d=37$。また $37=4\cdot481-3\cdot629$ なので一つの解は $(-3,4)$。全解は $$(x,y)=(-3+13k,\ 4-17k)\qquad(k\text{ は整数}).$$

(2) $b_n=1/a_n$ とおくと $b_1=3$ かつ $b_{n+1}=2b_n-1$。帰納的に $b_n=2^n+1$ なので $$\displaystyle a_n=\frac1{2^n+1}.$$

(3) 原文には確率モデルの指定がない。通常の割当てモデル、すなわち各人が独立に5部屋から等確率で1室を選ぶと仮定すれば、全事象は $5^5$。1人だけが入る部屋を生じない人数の組合せは、全員が1室に入る場合（5通り）または3人と2人に分かれる場合（$\displaystyle 5\cdot4\cdot\binom53=200$ 通り）である。従って条件付き確率は $$\displaystyle \frac{5+200}{5^5}=\frac{41}{625}.$$

(1)互除法で一次解と係数比を求め、(2)逆数をとると一次漸化式になる。(3)は原文に独立・等確率の記述がないため、各人が独立一様に部屋を選ぶ通常モデルを明示した条件付き解として示した。そのモデル下では占有人数型は5と3+2だけ。