2札幌医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$n$ は正整数とする。

(1) 倍角公式から $$\displaystyle \cos^2(nt)=\frac{1+\cos(2nt)}2,\qquad \sin^2(2nt)=\frac{1-\cos(4nt)}2.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos^2(nt)\,dt &=\left[\frac t2+\frac{\sin(2nt)}{4n}\right]_0^{\pi/2}=\frac\pi4,\\ \int_0^{\pi/2}\sin^2(2nt)\,dt &=\left[\frac t2-\frac{\sin(4nt)}{8n}\right]_0^{\pi/2}=\frac\pi4. \end{aligned}$$ ここでは $n$ が整数なので $\sin(n\pi)=\sin(2n\pi)=0$ を用いた。

(2) 交差項を $$\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\cos t\sin(2nt)\,dt$$ とおく。積和公式により $$\displaystyle \cos t\sin(2nt)=\frac12\{\sin((2n+1)t)+\sin((2n-1)t)\}.$$ $2n\pm1$ は正の奇数であり、各 $k=2n\pm1$ について $\cos(k\pi/2)=0$ だから $$\displaystyle I_n=\frac12\left(\frac1{2n+1}+\frac1{2n-1}\right) =\frac{2n}{4n^2-1}.$$ また (1) で $n=1$ とした値から $\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt=\pi/4$ である。従って $$\displaystyle f_n(x)=\frac\pi4x^2+2I_nx+\frac\pi4 =\frac\pi4x^2+\frac{4n}{4n^2-1}x+\frac\pi4.$$ 平方完成すると $$\displaystyle f_n(x)=\frac\pi4\left(x+\frac{8n}{\pi(4n^2-1)}\right)^2 +\frac\pi4-\frac{16n^2}{\pi(4n^2-1)^2}.$$ 第一項は非負で、$\displaystyle x=-\dfrac{8n}{\pi(4n^2-1)}$ のとき0となる。したがって $$\displaystyle a_n=\frac\pi4-\frac{16n^2}{\pi(4n^2-1)^2}.$$

(3) 補正項は $$\displaystyle \frac{16n^2}{\pi(4n^2-1)^2} =\frac{1}{\pi n^2}\left(1-\frac{1}{4n^2}\right)^{-2}\longrightarrow0 \qquad(n\to\infty)$$ だから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac\pi4.$$

$n$は正整数とする。倍角公式から $\displaystyle \cos^2(nt)=\frac{1+\cos(2nt)}2$、$\displaystyle \sin^2(2nt)=\frac{1-\cos(4nt)}2$なので、端点の正弦項が消えて(1)の積分はともに$\displaystyle \frac\pi4$。交差積分 $\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\cos t\sin(2nt)\,dt$は積和公式で $\displaystyle \frac12\left(\frac1{2n+1}+\frac1{2n-1}\right)=\frac{2n}{4n^2-1}$。また $\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt=\frac\pi4$だから $\displaystyle f_n(x)=\frac{\pi x^2}{4}+\frac{4n}{4n^2-1}x+\frac\pi4$。平方完成すると、係数$\displaystyle \frac\pi4>0$の平方と定数項 $\displaystyle \frac\pi4-\frac{16n^2}{\pi(4n^2-1)^2}$に分かれる。平方が0になる$x$で最小値をとるため(2)の式を得る。補正項を $\displaystyle \frac{1}{\pi n^2}\left(1-\frac1{4n^2}\right)^{-2}$と書けば0に収束し、(3)の極限は$\displaystyle \frac\pi4$。