3高知大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(0)=0$ である。$h<0$ と $h>0$ で差商を計算すると $$\displaystyle \frac{f(h)-f(0)}{h}=\begin{cases}\frac12(h+1)&(h<0),\\-\frac12(h-1)&(h>0).\end{cases}$$ 左右の極限はいずれも $1/2$ だから、$f'(0)=1/2$ である。

(2) 左側の式は $$\displaystyle \frac12x(x+1)=\frac12\left(x+\frac12\right)^2-\frac18$$ と平方完成でき、頂点は $(-1/2,-1/8)$、端点は $(-1,0),(0,0)$。右側は $$\displaystyle -\frac12x(x-1)=-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+\frac18$$ で、頂点は $(1/2,1/8)$、端点は $(0,0),(1,0)$ である。これら二つの弧をつないだものがグラフとなる。

(3) 各区間で微分し、(1)の値を合わせると $$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}x+\frac12&(-1<x<0),\\\frac12&(x=0),\\-x+\frac12&(0<x<1),\end{cases}$$ すなわち $\displaystyle y=\frac12-|x|$（$-1<x<1$）である。さらに $$\displaystyle \frac{f'(h)-f'(0)}h=\begin{cases}1&(h<0),\\-1&(h>0),\end{cases}$$ だから、$f'$ は $x=0$ で微分可能でない。端点 $x=\pm1$ は範囲外なので、図では白丸で示す。

(4) 回転軸に垂直な断面は半径 $|f(x)|$ の円である。$f(-x)=-f(x)$ より $f(x)^2$ は偶関数なので、 $$\displaystyle V=\pi\int_{-1}^{1}f(x)^2\,dx=2\pi\int_0^1\left(\frac12x(1-x)\right)^2dx =\frac{\pi}{2}\left(\frac13-\frac12+\frac15\right)=\frac{\pi}{60}.$$