高知大学 2014年数学第1問解答・解説

微分・積分の考え数と式図形と方程式

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1問題

高知大学2014年度第1問

$f(x)=x(x-1)(x+1)$ とおく。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 関数 $y=f(x)$ が極大，極小になるときの $x$ と，その極大値，極小値を求めよ。

(2) $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ。

(3) $x$ が $\displaystyle \lvert x-1\rvert<\frac{1}{2}$ をみたすとき，点 $(x,f(x))$ は点 $(1,0)$ を中心とする半径 $3$ の円の内部に含まれることを示せ。

(4) $1$ 以下の正の数 $r$ に対して， $x$ が $\lvert x-1\rvert<r$ の範囲を動くとき，点 $(x,f(x))$ は点 $(1,0)$ を中心とする半径 $10r$ の円の内部に含まれることを示せ。

(100点)

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle x=-\frac{\sqrt3}{3}$ で極大値 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}{9}$ 、 $\displaystyle x=\frac{\sqrt3}{3}$ で極小値 $\displaystyle -\frac{2\sqrt3}{9}$ 。
(2) $f(x)=x^3-x$ は奇関数で、 $(-1,0),(0,0),(1,0)$ を通り、 $\displaystyle x< -\frac{\sqrt3}{3}$ で増加、 $\displaystyle -\frac{\sqrt3}{3}<x<\frac{\sqrt3}{3}$ で減少、 $\displaystyle x>\frac{\sqrt3}{3}$ で増加。極大点 $\displaystyle (-\frac{\sqrt3}{3},\frac{2\sqrt3}{9})$ 、極小点 $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{3},-\frac{2\sqrt3}{9})$ を持つ、原点対称のS字形の三次曲線。
(3) $t=x-1$ とおくと $\displaystyle |t|<\frac12$ から $\displaystyle |t+1|<\frac32, |t+2|<\frac52, |t|<\frac12$ で、 $f(x)=t(t+1)(t+2)$ より $\displaystyle |f(x)|<\frac{15}{8}$ 。よって $\displaystyle (x-1)^2+f(x)^2<\frac14+\frac{225}{64}=\frac{241}{64}<9$ 。ゆえに点 $(x,f(x))$ は点 $(1,0)$ を中心とする半径3の円の内部にある。（証明終）
(4) $0<r\le1$ のとき、 $t=x-1$ とおくと $|t|<r$ から $0<t+1<1+r\le2$ かつ $0<t+2<2+r\le3$ より $|f(x)|=|t|(t+1)(t+2)<r\cdot2\cdot3=6r$ 。よって $(x-1)^2+f(x)^2<r^2+36r^2=37r^2<100r^2=(10r)^2$ 。ゆえに点 $(x,f(x))$ は点 $(1,0)$ を中心とする半径 $10r$ の円の内部にある。（証明終）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=x(x-1)(x+1)=x^3-x$ 。 $f'=3x^2-1$ より臨界点は $x=\pm\sqrt3/3$ 、 $f''=6x$ と代入から極大値 $2\sqrt3/9$ 、極小値 $-2\sqrt3/9$ 。奇関数で零点は $-1,0,1$ 、増減は $x<-\sqrt3/3$ または $x>\sqrt3/3$ で増加し、 $-\sqrt3/3<x<\sqrt3/3$ で減少。

(3) $t=x-1$ とすれば $|t|<1/2$ , $|t+1|<3/2$ , $|t+2|<5/2$ なので $|f(x)|<15/8$ 。したがって $(x-1)^2+f(x)^2<241/64<9$ 。

(4) $0<r\le1$ , $|t|<r$ から $0<t+1<2$ , $0<t+2<3$ 。ゆえに $|f(x)|<6r$ で、 $(x-1)^2+f(x)^2<37r^2<(10r)^2$ .

導関数と二階導関数で極値を確認し、平行移動した変数tの各因子を上から評価して円の距離二乗を抑えた。

この問題で使う考え方

導関数・二階導関数
因数分解
絶対値評価

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