2高知大学 2014年 数学 第2問解答・解説

傾き0の接点では $y'=3(x^2+2a_nx+b_n)=0$。解は $-a_n\pm\sqrt{a_n^2-b_n}$ であり、大きい方を取るため $$c_n=-a_n+\sqrt{a_n^2-b_n}.$$ (1) $a_n=n,b_n=n^2$ より $c_n=-n$。 (2) $b_n=0$ だから $c_n=-a_n+|a_n|$。これは0と等しい必要十分条件が $a_n\ge0$ である。 (3) $A=a_1,B=b_1,D=A^2-B\ge0,q=\sqrt D$ とする。r>0なら $c_n=(-A+q)r^{n-1}$ で等比数列、r=0なら初項以降0なので公比0の等比数列（零列を含む通常定義）である。r<0なら $$c_1=-A+q,\quad c_2=r(-A-q),\quad c_3=r^2(-A+q).$$ 等比数列なら $c_1c_3=c_2^2$ より $(-A+q)^2=(-A-q)^2$、すなわち $Aq=0$。逆に、q=0（$B=A^2$）なら $c_n=-Ar^{n-1}$、A=0なら $c_n=q(-r)^{n-1}$。いずれも等比数列となる。従って条件は $r\ge0$、または $r<0$ かつ $a_1=0$ または $b_1=a_1^2$。 (4) $a_n=103-3n,b_n=408-12n$ なので $a_n^2-b_n=(3n-101)^2$ および $$c_n=3n-103+|3n-101|=\begin{cases}-2&(1\le n\le33),\\6n-204&(n\ge34).\end{cases}$$

共通の微分で大きい根を選ぶ。旧(1)(2)(4)は正しい。(3)は旧解説が初項・公比非零を原文にない前提としていたため、a1=0やr=0を加えて原文の全条件で再導出した。