2秋田大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(i) 隣り合う項の差は $7,13,19,25,31,\ldots$ で、公差 $6$ の等差数列である。よって $a_{n+1}-a_n=7+6(n-1)=6n+1$。したがって $n\ge1$ に対して $\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(6k+1)=4+3n(n-1)+(n-1)=3n^2-2n+3$。 (ii) ① 対数の底をそろえると $\displaystyle \log_4 5=\frac12\log_2 5$ である。$x>0$ のもとで $\log_2x=\log_2\sqrt5$ となるから $x=\sqrt5$。② $\log_2(x^2)=5$ の定義域は $x\ne0$ であり、$x^2=2^5=32$ より $x=\pm4\sqrt2$。 (iii) 閉区間での極値候補は端点と導関数が $0$ となる点である。$f'(x)=3x^2+6x-45=3(x+5)(x-3)$ より、区間内の臨界点は $x=-5,3$。値を比較すると $f(-8)=81, f(-5)=216, f(3)=-40, f(8)=385$ なので、最大値は $385$（$x=8$）、最小値は $-40$（$x=3$）。