I日本医科大学 2012年 数学 第I問解答・解説

問1 (a) $P$ と $Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p,q$（$p<q$）とする。放物線上の点の $y$ 座標は $x^2-x-2$ だから，中点が原点である条件は $$p+q=0,\qquad (p^2-p-2)+(q^2-q-2)=0.$$ $q=-p$ を代入すると $2p^2-4=0$。よって $p=-\sqrt2,\ q=\sqrt2$ であり，対応する点は $P(-\sqrt2,\sqrt2)$，$Q(\sqrt2,-\sqrt2)$ である。従って直線 $PQ$ は $$y=-x.$$

問1 (b) $PO:OQ=2:1$ なので，内分点の公式から $O=(P+2Q)/3$。従って $$p+2q=0,\qquad (p^2-p-2)+2(q^2-q-2)=0.$$ $p=-2q$ を代入すると $6q^2-6=0$。$p<q$ より $q=1,\ p=-2$ である。$P=(-2,4)$，$Q=(1,-2)$ を通る直線は $$y=-2x.$$

問1 (c) 放物線と直線 $y=-2x$ の交点の $x$ 座標は $$x^2-x-2=-2x\quad\text{すなわち}\quad (x+2)(x-1)=0,$$ より $-2,1$ である。$-2\le x\le1$ の範囲 では直線が放物線の上にあるから，求める面積は $$\displaystyle \int_{-2}^{1}\{-2x-(x^2-x-2)\}\,dx =\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx=\frac92.$$

問2 (a) $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n}\sum\limits _{k=1}^{n}jk =\left(\sum\limits _{j=1}^{n}j\right)^2 =\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2 =\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$

問2 (b) 全ての順序対についての和から対角成分を除くと，各 $j<k$ の積は2回ずつ数えられる。従って $$\displaystyle \sum\limits _{j<k}jk=\frac12\left\{\left(\sum\limits _{j=1}^{n}j\right)^2-\sum\limits _{j=1}^{n}j^2\right\} =\frac12\left\{\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}6\right\} =\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}.$$

問2 (c) 条件 $j<k-1$ は $j<k$ から隣り合う組 $(j,j+1)$ を除いたものなので， $$\displaystyle \sum\limits _{j<k-1}jk=\sum\limits _{j<k}jk-\sum\limits _{j=1}^{n-1}j(j+1).$$ 隣り合う組の和は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n-1}j(j+1)=\frac{(n-1)n(2n-1)}6+\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n-1)(n+1)}3.$$ これを (b) の式から引けば $$\displaystyle \sum\limits _{j<k-1}jk=\frac{n(n-1)(n+1)(n-2)}8.$$

問3 (a), (b) $$f'(x)=3x^2-6=3(x^2-2)$$ より，$f$ は $x=-\sqrt2$ で極大，$x=\sqrt2$ で極小となる。その極大値・極小値は $$f(-\sqrt2)=4\sqrt2,\qquad f(\sqrt2)=-4\sqrt2.$$ 従って (a) の答えは $x=\sqrt2$。三つの単調区間の値域から，$-4\sqrt2<a<4\sqrt2$ では方程式 $f(x)=a$ は3個の異なる実数解をもつ。端点では $$f(x)-4\sqrt2=(x+\sqrt2)^2(x-2\sqrt2),\qquad f(x)+4\sqrt2=(x-\sqrt2)^2(x+2\sqrt2),$$ なので，それぞれ異なる2個の実数解をもつ。区間外の $a$ では解は1個である。従って (b) は $$-4\sqrt2\leq a\leq4\sqrt2.$$

問3 (c) $1\le x\le5$ の範囲 では $f$ は $1\le x\le\sqrt2$ で減少し，$\sqrt2\le x\le5$ で増加する。また $$f(1)=-5,\qquad f(\sqrt2)=-4\sqrt2,\qquad f(5)=95.$$ 二つの枝の値域が重なるのは $-4\sqrt2<a\leq-5$ の範囲である。下端 $a=-4\sqrt2$ は両方の枝で同じ点 $x=\sqrt2$ だけとなるため除き，上端 $a=-5$ は $x=1$ と $x>\sqrt2$ の2解を与える。よって条件は $$-4\sqrt2<a\leq-5.$$