I東北医科薬科大学 2024年 数学 第I問解答・解説

agraph{(1-1)} $f'(x)=3x^2+2ax+b$ の2つの根が極値をとる $p,q$ である。最高次係数が正なので、導関数の符号は小さい根の左から $+,-,+$ と変わり、小さい根が極大点、大きい根が極小点となる。したがって $q<p$ であり、解と係数の関係から $\displaystyle p+q=-\dfrac{2a}{3}$ である。また $f''(x)=6x+2a$ より変曲点の $x$ 座標は $\displaystyle r=-\dfrac{a}{3}=\dfrac{p+q}{2}$。

$\displaystyle d=\dfrac{p-q}{2}>0$ とおくと $p=r+d,\ q=r-d$ であり、 $$f'(x)=3\bigl((x-r)^2-d^2\bigr).$$ $u=x-r$ とおいて積分し、$f(r)=3$ を用いると $$f(x)=3+u^3-3d^2u.$$ 極小点 $p$ では $u=d$ だから、 $$1=f(p)=3+d^3-3d^3=3-2d^3.$$ $d>0$ より $d=1$。ゆえに $q=r-1$ で、 $$\displaystyle q=\frac{p+q}{2}-1\quad\text{より}\quad q=-\frac{2a}{3}-p=-\frac{2a+3p}{3}.$$ また $u=-1$ を代入して $f(q)=3-1+3=5$。

agraph{(1-2)} $u=x-r$ とすれば $$f(x)-1=u^3-3u+2=(u-1)^2(u+2).$$ この値は $-2\le u\le1$ で非負であり、交点は $u=-2$ と $u=1$（後者は接点）である。したがって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \int_{r-2}^{r+1}\bigl(f(x)-1\bigr)\,dx =\int_{-2}^{1}(u^3-3u+2)\,du =\left[\frac{u^4}{4}-\frac{3u^2}{2}+2u\right]_{-2}^{1} =\frac{27}{4}.$$

agraph{(2-1), (2-2)} $p=r+1,\ q=r-1$ および $f(p)=1,\ f(q)=5$ より、直線 $\ell$ の傾きは $$\displaystyle \frac{5-1}{(r-1)-(r+1)}=-2.$$ 点 $(p,1)$ を通るので $\ell$ は $y=-2x+2p+1$。これが $(3,-9)$ を通る条件から $$-9=-6+2p+1\quad\text{より}\quad p=-2.$$ $p=r+1$ より $r=-3$、したがって $a=-3r=9$。

検算として $f(x)=3+(x+3)^3-3(x+3)=x^3+9x^2+24x+21$ とすると、$f(-2)=1,\ f(-4)=5,\ f(-3)=3$ であり、極小値・極大値・変曲点の条件を満たす。また $\ell:y=-2x-3$ は $(3,-9)$ を通る。