東北医科薬科大学／2024年度／前期

東北医科薬科大学 2024年数学第III問解答・解説

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1問題

東北医科薬科大学2024年度第III問

座標平面において、極方程式 $\displaystyle r=\frac{3}{5-3\cos\theta}$ で与えられる楕円の直交座標 $(x,y)$ による方程式を $f(x,y)=0$ とおく。以下の問に答えなさい。

(1) 楕円 $f(x,y)=0$ の長軸の長さは $\displaystyle \dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}$ 、短軸の長さは $\displaystyle \dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

(2) 楕円 $f(x,y)=0$ の焦点は $\displaystyle \left(\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}},\boxed{\text{ク}}\right)$ と $\left(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}}\right)$ である。ただし、 $\displaystyle \boxed{\text{ケ}}<\dfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}$ とする。

(3) 楕円 $f(x,y)=0$ を $y$ 軸に関して対称な楕円になるように $x$ 軸方向に平行移動する。この $y$ 軸対称の楕円の方程式を $g(x,y)=0$ とする。楕円 $g(x,y)=0$ と直線 $16\sqrt{3}x+20y-15\sqrt{3}=0$ の2つの共有点の座標は $\displaystyle \left(\dfrac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{スセ}}},\dfrac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}\right) \quad\text{および}\quad \left(\dfrac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}},\boxed{\text{ニ}}\right)$ である。ただし、 $\displaystyle \dfrac{\text{サシ}}{\text{スセ}}<\dfrac{\text{ツテ}}{\text{トナ}}$ とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

極座標の定義から直交座標の式へ移し、平方完成して楕円の標準形を求める。半径から軸の長さと焦点を出し、中心を原点に平行移動した楕円と直線を連立する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{gathered}\text{(1) 長軸の長さ }\frac{15}{8},\quad\text{短軸の長さ }\frac{3}{2}\\\text{(2) 焦点 }\left(\frac{9}{8},0\right),\space{}(0,0)\\\text{(3) 共有点 }\left(\frac{15}{32},\frac{3\sqrt{3}}{8}\right),\space{}\left(\frac{15}{16},0\right)\end{gathered}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

極方程式の分母は $5-3\cos\theta\geq 2>0$ なので、 $r>0$ である。直交座標では $x=r\cos\theta$ 、 $r^2=x^2+y^2$ だから、与式は $5r-3x=3$ と同値である。両辺を平方すると $25(x^2+y^2)=9(x+1)^2$ 、すなわち $16x^2+25y^2-18x-9=0$ を得る。平方完成して $\displaystyle 16\left(x-\frac{9}{16}\right)^2+25y^2=\frac{225}{16},\qquad \frac{\left(x-\frac{9}{16}\right)^2}{\left(\frac{15}{16}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{3}{4}\right)^2}=1.$ この楕円上では $\displaystyle \left|x-\frac{9}{16}\right|\leq\frac{15}{16}$ より $\displaystyle -\frac{3}{8}\leq x\leq\frac{3}{2}$ 、特に $x+1>0$ である。したがって、平方後の式からも $5r=3(x+1)$ が従い、平方による余分な点は生じない。また原点はこの楕円上にないので $r>0$ であり、各点に極角をとれば元の極方程式に戻る。よってこの標準形は与えられた軌跡と一致する。

標準形から中心は $\displaystyle \left(\frac{9}{16},0\right)$ 、長半径は $\displaystyle a=\frac{15}{16}$ 、短半径は $\displaystyle b=\frac{3}{4}$ である。 $a>b$ なので長軸は $x$ 軸に平行であり、長軸・短軸の長さはそれぞれ $\displaystyle 2a=\frac{15}{8}$ 、 $\displaystyle 2b=\frac{3}{2}$ である。

焦点までの距離を $c$ とすると、 $\displaystyle c^2=a^2-b^2=\frac{225}{256}-\frac{144}{256}=\frac{81}{256}$ より $\displaystyle c=\frac{9}{16}$ 。したがって焦点は $\displaystyle \left(\frac{9}{16}-\frac{9}{16},0\right)=(0,0)$ と $\displaystyle \left(\frac{9}{16}+\frac{9}{16},0\right)=\left(\frac{9}{8},0\right)$ であり、指定の順序では $\displaystyle \left(\frac{9}{8},0\right)$ 、 $(0,0)$ となる。

元の楕円の中心の $x$ 座標は $\displaystyle \frac{9}{16}$ なので、これを $x$ 軸方向に $\displaystyle -\frac{9}{16}$ だけ平行移動すると $y$ 軸対称となる。移動後の楕円は $\displaystyle g(x,y)=0:\quad \frac{x^2}{\left(\frac{15}{16}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{3}{4}\right)^2}=1,\quad\text{すなわち}\quad \frac{256}{225}x^2+\frac{16}{9}y^2=1.$ 直線から $\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}(15-16x)}{20}$ と表せる。これを楕円に代入すると $\displaystyle \frac{256}{225}x^2+\frac{(15-16x)^2}{75}=1\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 512x^2-720x+225=0.$ 判別式は $720^2-4\cdot512\cdot225=240^2$ なので、 $\displaystyle x=\frac{720\pm240}{1024}$ 、すなわち $\displaystyle x=\frac{15}{32},\frac{15}{16}$ 。これらを直線の式に戻すと、 $\displaystyle x=\frac{15}{32}$ のとき $\displaystyle y=\frac{3\sqrt{3}}{8}$ 、 $\displaystyle x=\frac{15}{16}$ のとき $y=0$ である。 $\displaystyle \frac{15}{32}<\frac{15}{16}$ であり、両点は代入した楕円・直線をともに満たす。

この問題で使う考え方

二次方程式とグラフ
直線の方程式
楕円
焦点と準線
極座標と極方程式

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