II福岡大学 2022年 数学 第II問解答・解説

(i)(1) 直線 $\ell$ を $\displaystyle y=-\frac{2}{\sqrt3}x-2$ と表し、楕円の式に代入すると $$\displaystyle 4x^2+\left(-\frac{2}{\sqrt3}x-2\right)^2=4 \quad\text{すなわち}\quad \frac{16}{3}x^2+\frac{8}{\sqrt3}x=0.$$ したがって $x=0$ または $\displaystyle x=-\frac{\sqrt3}{2}$ である。前者は既知の $A(0,-2)$ なので、もう一方は $y=-1$。ゆえに $$\displaystyle B\left(-\frac{\sqrt3}{2},-1\right).$$

(i)(2) 楕円上で $u=x$、$v=y/2$ とおけば $u^2+v^2=1$ である。点 $P=(x,y)$ と直線 $\ell$ の距離は $$\displaystyle d=\frac{|2x+\sqrt3y+2\sqrt3|}{\sqrt7} =\frac{|2u+2\sqrt3v+2\sqrt3|}{\sqrt7}.$$ $u^2+v^2=1$ より $$(2u+2\sqrt3v)^2\leq(2^2+(2\sqrt3)^2)(u^2+v^2)=16.$$ したがって $2u+2\sqrt3v$ の最大値・最小値はそれぞれ $4,-4$ であり、最大値 $4$ は等号条件 $(u,v)=(1/2,\sqrt3/2)$ でとる。したがって、距離の分子の中身は $$2\sqrt3-4\ \leq\ 2u+2\sqrt3v+2\sqrt3\ \leq\ 2\sqrt3+4.$$ $2\sqrt3+4>4-2\sqrt3$ なので絶対値の最大値は右端でとり、そのとき $$\displaystyle P=(x,y)=\left(\frac12,\sqrt3\right).$$

(ii) 真数を $U=1-x^2+y$ とおく。対数の定義域は $y>0$、$y\ne1$、$U>0$ である。

まず $y>1$ のとき、底 $y$ の対数関数は増加するので $$\log_y U\ge2\quad\text{すなわち}\quad U\ge y^2 \quad\text{すなわち}\quad x^2\le1+y-y^2.$$ このような実数 $x$ が存在する条件は $1+y-y^2\ge0$。正の解の境界は $\varphi=(1+\sqrt5)/2$ だから、この場合に可能な $y$ は $1<y\le\varphi$ である。実際、範囲内では $x=0$ とすれば条件を満たす。

次に $0<y<1$ のとき、底 $y$ の対数関数は減少するので $$\log_y U\ge2\quad\text{すなわち}\quad 0<U\le y^2 \quad\text{すなわち}\quad 1+y-y^2\le x^2<1+y.$$ この区間はすべての $0<y<1$ で空でない（左端は正で、右端との差は $y^2>0$）。以上から $$\displaystyle 0<y<1\ \text{または}\ 1<y\le\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

最後に $x$ の範囲を求める。$y>1$ の場合は $x^2\le1+y-y^2<1$ なので $|x|<1$。逆に任意の $x^2<1$ に対して、$y>1$ を十分 $1$ に近く選べば $1+y-y^2\ge x^2$ となる。よってこの場合の $x$ の範囲は $-1<x<1$。

$0<y<1$ の場合は $1+y-y^2>1$、かつ $1+y<2$ より、必要条件は $1<x^2<2$。逆に $0<q=x^2-1<1$ とし、$\displaystyle 0<\varepsilon<\min(q,1-q)$ を選んで $y=1-\varepsilon$ とおく。このとき $0<y<1$、$q<y$、$y(1-y)<q$ であるから $$1+y-y^2=1+y(1-y)<1+q=x^2<1+y.$$ したがってこの場合に可能な $x$ はちょうど $1<x^2<2$、すなわち $-\sqrt2<x<-1\ \text{または}\ 1<x<\sqrt2$ である。両場合を合わせると $$-\sqrt2<x<-1\ \text{または}\ -1<x<1\ \text{または}\ 1<x<\sqrt2.$$