I福岡大学 2022年 数学 第I問解答・解説

福岡大学 2022 問題 I

(i)

$a^2-3a+1=0$ から $a>0$ および $a+1/a=3$。$u=\sqrt a+1/\sqrt a>0$ とおくと

$$\displaystyle u^2=a+2+\frac1a=5,\qquad u=\sqrt5.$$

$s_n=a^{n/2}+a^{-n/2}$ とおく。$s_0=2,\ s_1=\sqrt5$ であり、$u=\sqrt a+1/\sqrt a$ を用いて

$$s_n=u\,s_{n-1}-s_{n-2}.$$

従って $s_2=3,\ s_3=2\sqrt5,\ s_4=7,\ s_5=5\sqrt5$。求める値は

$$\boxed{(1)=2\sqrt5,\qquad (2)=5\sqrt5}.$$

(ii)

$$A=(4,4,-6),\quad B=(7,1,-3),\quad C=(2,4,-2).$$

まず直線 $AB$ の方向ベクトルは $d=B-A=(3,-3,3)$。垂足 $P$ は $P=A+td$ と書け、$OP\perp AB$ より $P\cdot d=0$。ここで

$$A\cdot d=-18,\qquad d\cdot d=27,$$ $$\displaystyle 0=(A+td)\cdot d=-18+27t \quad\text{より}\quad t=\frac23.$$

従って

$$\boxed{P=(6,2,-4)}.$$

次に平面 $ABC$ の法線ベクトルを求める。$AB=(3,-3,3)$、$AC=(-2,0,4)$ に垂直な $(2,3,1)$ は $$(2,3,1)\cdot AB=0,\qquad (2,3,1)\cdot AC=0.$$ ゆえに平面の方程式は $2x+3y+z=14$。垂足 $Q$ は法線方向にあるので $Q=\lambda(2,3,1)$。平面上にある条件から $14\lambda=14$、従って

$$\boxed{Q=(2,3,1)}.$$

(iii)

1回の3人じゃんけんの全結果は $3^3=27$ 通り。あいこは、全員同じ手の3通りと3種類の手がすべて出る6通りで、計9通り、確率は $1/3$。残る18通りは2種類の手だけが出る場合である。手の種類の組を選ぶ3通りのそれぞれについて、勝つ手が2人の結果が3通り、負ける手が2人の結果も3通りある。従って1人だけ残る確率も、2人残る確率もそれぞれ $9/27=1/3$。

2人で行うじゃんけんでは、同じ手のあいこが $3/9=1/3$、異なる手で1人が残る確率が $6/9=2/3$。

3回目に初めて1人だけ残る場合を、1回目の後の人数で分ける。

1. 1回目に3人残り、2回目も3人残り、3回目に1人残る： $$\displaystyle \frac13\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac1{27}.$$ 2. 1回目に3人残り、2回目に2人残り、3回目にその2人から1人残る： $$\displaystyle \frac13\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac2{27}.$$ 3. 1回目に2人残り、2回目はその2人があいこで残り、3回目に1人残る： $$\displaystyle \frac13\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac2{27}.$$

よって

$$\displaystyle \boxed{(5)=\frac5{27}}.$$

この事象のうち1回目に3人全員が残るのは場合1と2で、確率は $1/27+2/27=3/27$。従って条件付き確率は

$$\displaystyle \boxed{(6)=\frac{3/27}{5/27}=\frac35}.$$

最終結果・解法・確認事項

- (i)：$(1)=2\sqrt5,\ (2)=5\sqrt5$。 - (ii)：$P=(6,2,-4),\ Q=(2,3,1)$。 - (iii)：$(5)=5/27,\ (6)=3/5$。 - 解法：平方根の対称式と漸化式、垂直条件による射影、場合分けと条件付き確率。 - 定義域：$a>0$、じゃんけんの各人の手は独立かつ同確率とした。 - issues：なし。