1京都大学 2021年 数学 第1問解答・解説

問1.

点 $A,B,C$ はそれぞれ座標軸上にあるので、これらを通る平面 $\alpha$ は切片形から $$\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1, \qquad 2x-2y+z-2=0$$ となる。法線ベクトルを $\boldsymbol n=(2,-2,1)$、平面方程式の左辺を $F(x,y,z)=2x-2y+z-2$ とおくと、 $$F(P)=F(1,1,1)=-1,\qquad \lVert\boldsymbol n\rVert^2=9.$$ したがって、点 $P$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足 $M$ は $$\displaystyle M=P-\frac{F(P)}{\lVert\boldsymbol n\rVert^2}\boldsymbol n =P+\frac{1}{9}(2,-2,1) =\left(\frac{11}{9},\frac{7}{9},\frac{10}{9}\right).$$ $M$ は線分 $PQ$ の中点だから、 $$\displaystyle Q=2M-P=\left(\frac{13}{9},\frac{5}{9},\frac{11}{9}\right).$$

問2.

求める事象では、最初の $n-1$ 回には赤玉が出ず、白・青・黄の3色がすべて少なくとも1回ずつ出ており、$n$ 回目に赤玉が出る。最初の $n-1$ 回の色列の個数は、包除原理により $$\displaystyle N=3^{n-1}-\binom31 2^{n-1}+\binom32 1^{n-1} =3^{n-1}-3\cdot2^{n-1}+3 \qquad (n\ge4).$$ 各長さ $n$ の色列（最後が赤であるもの）の確率は $4^{-n}$ なので、 $$\displaystyle P_n=N\,4^{-n} =\frac{3^{n-1}-3\cdot2^{n-1}+3}{4^n} \qquad (n\ge4).$$ 特に $n=4$ では、最初の3回が白・青・黄の順列6通りであり、確率は $6/4^4=3/128$。