6京都大学 2021年 数学 第6問解答・解説

agraph{問1}対偶を示す。$n$ が素数でないなら、$n=ab$ と書ける整数 $a,b\ge2$ がある。このとき $$\displaystyle 3^n-2^n=(3^a)^b-(2^a)^b=(3^a-2^a)\sum\limits _{j=0}^{b-1}3^{a(b-1-j)}2^{aj}.$$ 第1因子は $3^a-2^a>1$、第2因子も正の整数項を少なくとも2つ含むので $1$ より大きい。したがって $3^n-2^n$ は合成数である。対偶より、$3^n-2^n$ が素数ならば $n$ は素数である。

agraph{問2}$1\le x\le a$ の範囲で $h(x)=f(x)/x$ とおく。$x\ge1$ なのでこれは連続で、$1<x<a$ の範囲で微分可能である。また条件から $$\displaystyle h(a)=\frac{f(a)}a=f(1)=h(1).$$ もし $h$ が一定ならば、$1<c<a$ を満たす任意の $c$ で $h'(c)=0$ となる。一定でない場合、連続性により最大値・最小値をもち、端点での値が等しいので、端点値と異なる方の極値は区間内部でとられる。微分可能な関数が内部で極値をとる点を $c$ とすれば $h'(c)=0$ である。いずれの場合も$1<c<a$ を満たすある $c$ について $$\displaystyle 0=h'(c)=\frac{c f'(c)-f(c)}{c^2},\qquad f(c)=c f'(c).$$ $x=c$ における接線は $y=f(c)+f'(c)(x-c)$ だから、$x=0$ を代入すると $y=f(c)-cf'(c)=0$ となる。従ってこの接線は原点を通る。