3東京慈恵会医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

第3問

$0<x\leq\pi$ で $\sin 2ax\leq0$ となる範囲は、$m=0,1,\ldots,a-1$ について $$\displaystyle \frac{(2m+1)\pi}{2a}\le x\le\frac{(m+1)\pi}{a}$$ で表される範囲 $I_m$ を合わせたものである。それ以外の部分では $\sin 2ax>0$ である。

$G(x)=\cos 2ax-\cos x$ とおく。$I_m$ の内部では $\sin 2ax<0$ かつ $\sin x>0$ だから $$G'(x)=-2a\sin 2ax+\sin x>0.$$ また、左端では $\displaystyle G=-1-\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{2a}\right)<0$、右端では $\displaystyle G=1-\cos\!\left(\frac{(m+1)\pi}{a}\right)>0$ である。従って各 $I_m$ 内に $G(x)=0$ となる点がただ1つある。

その点は $$\displaystyle \xi_m=\frac{2(m+1)\pi}{2a+1}$$ である。実際、 $$\displaystyle \frac{2(m+1)}{2a+1}-\frac{2m+1}{2a} =\frac{2a-2m-1}{2a(2a+1)}>0, \qquad \frac{m+1}{a}-\frac{2(m+1)}{2a+1} =\frac{m+1}{a(2a+1)}>0,$$ よって $\xi_m$ は $I_m$ の内部にある。また $$2a\xi_m=2(m+1)\pi-\xi_m$$ より $\cos2a\xi_m=\cos\xi_m$ である。$I_m$ の範囲では $x$ が大きいほど $G(x)$ は必ず大きくなるので、求める解の範囲は $\xi_m\le x\le(m+1)\pi/a$ である。異なる $m$ の区間は、$\sin2ax>0$ となる隙間をはさんで互いに交わらない。したがって区間数は $n=a$ であり、その長さは、$k=m+1$ とおけば $$\displaystyle x_k=\frac{k\pi}{a}-\frac{2k\pi}{2a+1} =\frac{k\pi}{a(2a+1)}\qquad(k=1,\ldots,a).$$ ゆえに $$\displaystyle \theta_k=2b(2a+1)x_k=2k\pi\frac ba,$$ となり (1) が示された。

(2) 整数の割り算により $kb=aq_k+r_k$、$0\leq r_k<a$ と書ける。もし $1\leq i<j\leq a$ に対して $r_i=r_j$ なら $$(j-i)b=a(q_j-q_i)$$ となり、$a$ は $(j-i)b$ を割る。$a$ と $b$ は互いに素なので $a$ は $j-i$ を割るが、$1\leq j-i<a$ に反する。従って $r_1,\ldots,r_a$ は相異なる。

各 $r_k$ は $0,1,\ldots,a-1$ のいずれかであり、相異なるものが $a$ 個あるから、これらは $0,1,\ldots,a-1$ の並べ替えである。また $$\displaystyle \theta_k=2\pi q_k+2\pi\frac{r_k}{a}$$ なので、$Z_k$ は偏角 $2\pi r_k/a$ の点である。よって点全体は単位円上の偏角 $0,2\pi/a,\ldots,2(a-1)\pi/a$ に対応し、隣り合う分点の中心角はすべて $2\pi/a$ である。従って $Z_1,\ldots,Z_a$ は単位円を $a$ 等分する。