2東京慈恵会医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

第2問 (1) $y=e^{x^2}$ は $x\geq0$ で $x=\sqrt{\log y}$ と表せる。したがって、回転してできる立体を $y$ 軸に垂直な平面で切ったときの円板の半径は $\sqrt{\log y}$ である。高さの範囲は $e\leq y\leq e^{a^2}$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_e^{e^{a^2}}(\sqrt{\log y})^2\,dy =\pi\int_e^{e^{a^2}}\log y\,dy\\ &=\pi[ y\log y-y ]_e^{e^{a^2}} =\boxed{\pi e^{a^2}(a^2-1)}. \end{aligned}$$ ここでは部分積分から $\displaystyle \int\log y\,dy=y\log y-y$ を用いた。

(2) $f(x)=e^{x^2}$ とおくと $$f'(x)=2xe^{x^2},\qquad f''(x)=(2+4x^2)e^{x^2}>0.$$ $f\prime$ は増加するので、$x=a$ における接線は $1\leq x\leq a$ で曲線の下側にある。接線は $$\ell:\ y=e^{a^2}\{1-2a^2+2ax\}$$ であるから $$\displaystyle \begin{aligned} S_1&=\int_1^a\left[e^{x^2}-e^{a^2}(1-2a^2+2ax)\right]dx\\ &=\int_1^a e^{x^2}\,dx-e^{a^2}(a-1)(1+a-a^2). \end{aligned}$$ 接線の $x$ 切片、$y$ 切片はそれぞれ $$\displaystyle \frac{2a^2-1}{2a},\qquad e^{a^2}(1-2a^2)$$ である。$a>1$ より前者は正、後者は負なので、座標軸と接線で囲まれる三角形の面積は $$\displaystyle S_2=\frac12\cdot\frac{2a^2-1}{2a}\cdot e^{a^2}(2a^2-1) =\frac{e^{a^2}(2a^2-1)^2}{4a}.$$ 極限を比べるため $a^3e^{a^2}$ で割る。$1\leq x\leq a$ では $e^{x^2}\leq e^{a^2}$ だから $$\displaystyle 0\leq \frac{\int_1^a e^{x^2}dx}{a^3e^{a^2}} \leq\frac{a-1}{a^3}\longrightarrow0.$$ また $$\displaystyle \frac{S_1}{a^3e^{a^2}} =\frac{\int_1^a e^{x^2}dx}{a^3e^{a^2}} -\frac{(a-1)(1+a-a^2)}{a^3}\longrightarrow 0-(-1)=1,$$ 一方 $$\displaystyle \frac{S_2}{a^3e^{a^2}}=\frac{(2a^2-1)^2}{4a^4}\longrightarrow1.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{a\to\infty}\frac{S_1}{S_2}=1}.$$