東京慈恵会医科大学 2021年数学第1問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

東京慈恵会医科大学2021年度第1問

次の□にあてはまる適切な数値を解答欄に記入せよ。

次の操作を5回繰り返し，白玉，赤玉を左から順に1列に並べる。

操作：1個のさいころを投げて，4以下の目が出たときには白玉を1個おき，他の目が出たときには赤玉を1個，次に白玉を1個おく。

たとえば，さいころの出た目が順に「11151」であったとすると，並べられた玉の個数は6個で，玉の色は左から順に「白白白赤白白」となる。このとき，

・並べられた玉の個数が7個で，左から3個目の玉が赤玉である確率は $\boxed{\text{(ア)}}$

・左から5個目の玉が赤玉である確率は $\boxed{\text{(イ)}}$

である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア
$\displaystyle \frac{8}{81}$ 。
イ
$\displaystyle \frac{61}{243}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

各回を白のみ $W$ （確率 $2/3$ ）、赤白 $RW$ （確率 $1/3$ ）と表す。出る玉の数は5回分の5に $R$ 回数を加えたもの。従って7個となるには $R$ がちょうど2回必要で、そのような順序は10通りあり、各確率は $(1/3)^2(2/3)^3=8/243$ 。3個目が赤になる順序は $RRWWW,\ WWRRW,\ WWRWR$ の3通りなので $\text{ア}=24/243=8/81$ 。 5個目が赤になるには、ある $R$ 操作が、前までにちょうど4個の玉を出した後に始まる必要がある。操作番号 $j$ について、前の $j-1$ 回に含まれる $R$ 数を $m$ とすると $(j-1)+m=4$ 。 $j=3$ なら最初の2回が $RR$ で確率 $1/27$ 、 $j=4$ なら最初の3回に $R$ が1回で次が $R$ となる確率 $(4/9)(1/3)=4/27$ 、 $j=5$ なら最初の4回が全て $W$ で次が $R$ となる確率 $(2/3)^4(1/3)=16/243$ 。事象は互いに排反で、合計は $1/27+4/27+16/243=61/243$ 。

この問題で使う考え方

排反事象の分割
二項分布的な数え上げ

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