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岩手医科大学／2021年度／一般 一般

岩手医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

場合の数と確率

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1問題

岩手医科大学2021年度第3問

右の図のように 5×55\times5 の25個の正方形に分割された正方形のカードがある。

正方形が縦5列、横5行の25マスに分割され、中央の1マスが黒く塗りつぶされている。残りの24マスは白く、数の表示はない。

このカードは中央のマスが黒く塗りつぶされ，それ以外のマスには1～24の数が1マスに1つずつ無作為な順で書かれている。また，1～24の数が1つずつ書かれた24個のボールが入った袋がある。　 袋の中からボールを1個取り出し，それに書かれた数と同じ数のマスを塗りつぶすという操作を繰り返し，中央のマスが含まれても含まれなくてもよいが，縦・横・斜めのいずれかで5つすべてが塗りつぶされた列（これをラインと呼ぶ）ができることを「ビンゴ」といい，ビンゴになったら操作を終了するというゲームを考える。ただし，一度取り出したボールは袋に戻さないものとする。　 このとき，次の問い（問1～4）に答えよ。　 問1 各カードに対して，ラインは アイ\boxed{\text{アイ}} 本考えられる。　 問2 カードに書かれた数字の向きを無視して，回転させて同じ数の配列になるカードを同種のカードとみるとき，カードは ウ×エオ!\boxed{\text{ウ}}\times\boxed{\text{エオ}}! 種類ある。　 問3 4回の操作でビンゴになる確率 P4P_{4} は P4=カキクケコ ⁣\displaystyle P_{4}=\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キクケコ}}\!} である。　 問4 5回の操作で初めてビンゴになる確率 P5P_{5} は問3の P4P_{4} を用いて，P5=サシP4\displaystyle P_{5}=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}P_{4} である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

ラインの種類と各完成条件を分け、組合せ・順列で場合の数を数える。回転による同一視では、すべての配列が異なる4通りの回転をもつことを用いる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (問1) 12,(問2) 6×23!,(問3) 25313,(問4) P5=92P4\displaystyle (\mathrm{問1})\space{}12,\quad (\mathrm{問2})\space{}6\times23!,\quad (\mathrm{問3})\space{}\frac{2}{5313},\quad (\mathrm{問4})\space{}P_5=\frac{9}{2}P_4

4解答

解答を見る途中式つきの解答

問1　横の列は5本、縦の列は5本、対角線は2本である。したがって、ラインの総数は 5+5+2=125+5+2=12 本である。

問2　中央以外の24マスに異なる24個の数を置く方法は 24!24! 通りである。90度ずつの回転を考えると、4種類の向きはいずれも同じ配列にはならない。中央以外のマスは回転で別の位置へ移り、そこに置かれた数はすべて異なるからである。よって1種類に対応する配置は4通りずつであり、求める種類数は 24!4=6⋅23!\displaystyle \frac{24!}{4}=6\cdot23! 通りである。

問3　4回でビンゴになるには、中央の黒マスを通るラインのうちの1本で、中央以外の4マスをすべて塗る必要がある。中央を通るラインは中央の縦・横の2本と対角線2本の計4本であり、これらの4マス集合は互いに異なる。したがって、4回の操作でビンゴとなる4マスの選び方は4通りである。24マスから4マスを選ぶ全場合の数は (244)=10626\displaystyle \binom{24}{4}=10626 通りなので、P4=4(244)=410626=25313\displaystyle P_4=\frac{4}{\binom{24}{4}}=\frac{4}{10626}=\frac{2}{5313} である。

問4　5回目に初めてビンゴとなる順序を、中央を通るラインで完成する場合と、通らないラインで完成する場合に分けて数える。

中央を通る1本のラインでは、その4個の番号のうち最後の1個を5回目に引く。最初の4回には、残り3個とそのライン外の1個を引く。最後の1個の選び方は4通り、ライン外の1個の選び方は 24−4=2024-4=20 通り、最初の4個の並べ方は 4!4! 通りである。よって1本につき 4⋅20⋅4!4\cdot20\cdot4! 通りであり、4本で 4(4⋅20⋅4!)4(4\cdot20\cdot4!) 通りとなる。最初の4回に含まれるライン上の3マスは他の中央ラインのマスと重ならないので、別の中央ラインが先に完成することはない。また、中央を通らないラインは5マスすべてが必要なので、4回目までの完成は起こらない。

中央を通らないラインは中央列以外の4列と中央行以外の4行の計8本である。1本の5マスラインを5回目に完成する順序は、最後に引くマスの選び方が5通り、最初の4マスの並べ方が 4!4! 通りだから 5⋅4!5\cdot4! 通りである。中央を通らないラインが最初の4回で完成することはなく、異なる完成ラインの事象は重ならない。よって有利な順序数は 4(4⋅20⋅4!)+8(5⋅4!)=86404(4\cdot20\cdot4!)+8(5\cdot4!)=8640 通りである。全順序数は 24⋅23⋅22⋅21⋅20=510048024\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20=5100480 通りだから、P5=86405100480=31771\displaystyle P_5=\frac{8640}{5100480}=\frac{3}{1771} である。ここで P4=25313\displaystyle P_4=\frac{2}{5313}、5313=3⋅17715313=3\cdot1771 より、P5=31771=92⋅25313=92P4\displaystyle P_5=\frac{3}{1771}=\frac{9}{2}\cdot\frac{2}{5313}=\frac{9}{2}P_4 となる。

この問題で使う考え方

  • 和の法則
  • 積の法則
  • 順列
  • 組合せ
  • 確率の基本法則

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