III横浜市立大学 2024年 数学 第III問解答・解説

1から9までの数字を書いたカードが9枚あります。このカードを用いた操作について，次の各問いに答えなさい。ただし，各カードに書かれている数字は1つだけであり，異なるカードに書かれている数字は異なるものとします。

(1) 9枚のカードを1枚ずつ9人に配り，カードの数字をおぼえてから9枚の封筒を用意し，それぞれの封筒に1枚ずつカードを入れます。封筒に入れたカードの数を読みとることはできません。この封筒をランダムに9人に1つずつ再配布します。9人のうち，ちょうど5人が元のカードを手にする確率を求めなさい。

(2) 9枚のカードからランダムに3枚を選びます。このように選ばれたカードの書かれた数字の大きい順に $x,y,z$ とします。$x-y=y-z$ となる場合の確率を求めなさい。

(3) 左から順に $a_1,a_2,\ldots,a_9$ とラベルがつけられている箱に9枚のカードをランダムに入れます。ただし，ひとつの箱に入るカードは1枚だけです。箱 $a_i\ (i=1,2,\ldots,9)$ の中にあるカードの数字を，箱 $a_i$ それぞれに割り当てられるものとして，その数字で $a_i$ の大小を考えることにしました。たとえば，箱 $a_1$ にカード3が入り，箱 $a_5$ にカード1が入っているときには $a_1>a_5$ であるなどということにします。

いま，$a_i$ の大小関係が条件

・ $a_1<a_2<a_3<a_4$

・ $a_6<a_5<a_4$

・ $a_6<a_7<a_8<a_9$

をみたすとき，このような関係となるカードの並び方は何通りありますか。