1岐阜大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) 4桁の整数を$\overline{abcd}$とする。各桁は1から9までの相異なる数字である。千の位は1でなければならない。百の位が2から8までのとき、百の位は7通りあり、その後の十の位と一の位の選び方は順に7通り、6通りである。百の位が9のとき、十の位が2から7までなら6通りあり、その後の一の位は各場合6通りである。十の位が8なら、一の位は2から6までの5通りである。したがって、 $$7\cdot7\cdot6+6\cdot6+5=335$$ 通り。

(2) 9個の玉の取り出し順は全部で$9!$通りあり、いずれも同様に確からしい。最初の番号と新しい番号が一致する玉を5個選ぶ方法は$\displaystyle \binom{9}{5}$通りである。残る4個の番号の並べ替えで、どの番号も元の番号と一致しないものは9通りある。実際、残る4個を1,2,3,4と名付け、並べ替えを$(p(1),p(2),p(3),p(4))$で表すと、その全ては $$\begin{array}{c|l} p(1)&(p(1),p(2),p(3),p(4))\\ 2&(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3)\\ 3&(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1)\\ 4&(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1) \end{array}$$ である。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{\binom{9}{5}\cdot9}{9!}=\frac{126\cdot9}{362880}=\frac{1}{320}.$$