5岐阜大学 2001年 数学 第5問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=(-2,-2,2)$ なので、$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$ より $$P=A+t\overrightarrow{AB}=(1-2t,\ 2-2t,\ 1+2t).$$

$Q=(a,0,0)$ とする。$P-Q=(1-a-2t,\ 2-2t,\ 1+2t)$ だから、距離の2乗を展開して平方完成すると $$\displaystyle |PQ|^2=12t^2+(4a-8)t+a^2-2a+6 =12\left(t-\frac{2-a}{6}\right)^2+\frac{2a^2-2a+14}{3}.$$ $t$ は実数全体を動くので、最小値は平方項が0となるときにとる。従って $$\displaystyle \boxed{\min |PQ|=\sqrt{\frac{2a^2-2a+14}{3}}},\qquad t=\frac{2-a}{6}.$$

次に、この最小距離の2乗を$a$について平方完成すると $$\displaystyle \frac{2a^2-2a+14}{3}=\frac23\left(a-\frac12\right)^2+\frac92.$$ よってx軸上の点も動かすときは$a=1/2$で最小となり、求める距離は $$\displaystyle \boxed{\sqrt{\frac92}=\frac{3}{\sqrt2}}.$$