2近畿大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $P=(p,f(p))$ であり、 $$P-A=(p-4,\,p^2-4p)=(p-4,\,p(p-4)),\qquad B-A=(-2,-4)$$ だから、三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\left|\begin{vmatrix}-2&-4\\p-4&p(p-4)\end{vmatrix}\right| =|(p-4)(p-2)|.$$ これが15となる条件は $|(p-4)(p-2)|=15$ である。$t=p-3$ とおけば $(p-4)(p-2)=t^2-1$ なので、$|t^2-1|=15$ より、$t^2=16$ または $t^2=-14$ となる。後者は不可能であるから $p=-1,7$ である。それぞれ $$f(-1)=8,\qquad f(7)=24$$ となるので、求める点は $$\boxed{P=(-1,8),\ (7,24)}.$$

(2) 直角の頂点ごとに内積が0となる条件を調べる。まず $A$ で直角となる条件は $$(B-A)\cdot(P-A)=-2(p-4)(2p+1)=0.$$ $p=4$ は $P=A$ で除外されるから、$\displaystyle p=-\frac12$ である。このとき $\displaystyle f(p)=\frac{21}{4}$ なので $\displaystyle P=(-\frac12,\frac{21}{4})$。

$B$ で直角となる条件は $$(A-B)\cdot(P-B)=2(p-2)(2p-3)=0.$$ $p=2$ は $P=B$ で除外されるから、$\displaystyle p=\frac32$ である。このとき $\displaystyle f(p)=-\frac34$ なので $\displaystyle P=(\frac32,-\frac34)$。

$P$ で直角となる条件は $$(P-A)\cdot(P-B) =(p-4)(p-2)\{1+p(p-2)\} =(p-4)(p-2)(p-1)^2=0.$$ $p=4,2$ はそれぞれ $P=A,B$ なので除外し、残る $p=1$ に対して $f(1)=0$ を得る。したがって $P=(1,0)$ である。以上より、求める点は $$\displaystyle \boxed{P=(-\tfrac12,\tfrac{21}{4}),\ (\tfrac32,-\tfrac34),\ (1,0)}.$$