1近畿大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) 全事象は順序を区別して $6^3=216$ 通りである。3個の目がすべて異なる場合は、1個目から順に $6,5,4$ 通りなので $$\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac{6\cdot5\cdot4}{216}=\frac59}.$$

(2) それぞれの目が $3,4,5,6$ のいずれかであるから、有利な場合は $4^3$ 通りであり、 $$\displaystyle \boxed{\text{イ}=\frac{4^3}{216}=\frac8{27}}.$$

(3) 最小値が $3$ となるのは、3個とも $3$ 以上で、かつ3個とも $4$ 以上ではない場合である。よって有利な場合は $4^3-3^3=37$ 通りで、 $$\displaystyle \boxed{\text{ウ}=\frac{4^3-3^3}{216}=\frac{37}{216}}.$$

(4) どの目が他の2数の和になるかを先に選ぶ。例えば $c=a+b$ とすると、$a,b$ は正の整数で $a+b\le6$ を満たす。和が $2,3,4,5,6$ となる順序対 $(a,b)$ の個数はそれぞれ $1,2,3,4,5$ 個、合計 $15$ 個である。和になる目の選び方は3通りであり、正の目では2つの異なる等式が同時に成立することはない。したがって $$\displaystyle \boxed{\text{エ}=\frac{3(1+2+3+4+5)}{216}=\frac{45}{216}=\frac5{24}}.$$

(5) 和より大きい数は、必ず3個のうちの最大の数であり、その位置は一意である。最大の目を $z$ と固定したとき、残る順序対 $(x,y)$ は $x+y<z$ を満たす。$z=1,2,3,4,5,6$ に対する個数は順に $0,0,1,3,6,10$ で、その合計は $20$ 個である。最大の目の位置が3通りなので $$\displaystyle \boxed{\text{オ}=\frac{3(1+3+6+10)}{216}=\frac{60}{216}=\frac5{18}}.$$

(6) 3辺で三角形を作れる条件は、最大の辺が残る2辺の和より小さいことである。作れない場合は、(4) の等号の場合45通り、(5) の厳密な不等号の場合60通りである。両者は重ならないから、 $$\displaystyle \boxed{\text{カ}=1-\frac{45+60}{216}=\frac{111}{216}=\frac{37}{72}}.$$