I順天堂大学 2010年 数学 第I問解答・解説

agraph{問I（独立解答）} 各(1)から(4)で記号は改めて使われる。各枠の値と導出を示す。

agraph{(1) 積分と一次関数} $L=\sqrt3$ と置く。対称区間上で奇関数 $x$ の積分は $0$ であるが、 $x^2-1$ は偶関数であり、直接計算する必要がある。実際、 $$\displaystyle \int_{-L}^{L}x^2\,dx=\frac{2L^3}{3}=2\sqrt3, \qquad \int_{-L}^{L}1\,dx=2L=2\sqrt3, \qquad \int_{-L}^{L}x\,dx=0.$$ 従って $$\displaystyle \int_{-L}^{L}(x^2-1)\,dx=0, \qquad \int_{-L}^{L}(x-1)^2\,dx =\int_{-L}^{L}(x+1)^2\,dx=4\sqrt3.$$ 一次関数を $f(x)=U(x-1)+V(x+1)$ と表すと、 $$\displaystyle \int_{-L}^{L}(x-1)(x+1)\,dx =\int_{-L}^{L}(x^2-1)\,dx=0.$$ ゆえに二つの与えられた積分はそれぞれ $4\sqrt3\,U=5\sqrt3$、$4\sqrt3\,V=3\sqrt3$ となり、 $$\displaystyle U=\frac54,\qquad V=\frac34,\qquad f(x)=\frac54(x-1)+\frac34(x+1)=2x-\frac12.$$ 従って(1)の枠は $$\boxed{\text{ア}=0,\ \text{イ}=4,\ \text{ウ}=3,\ \text{エ}=4,\ \text{オ}=3,\ \text{カ}=5,\ \text{キ}=4,\ \text{ク}=3,\ \text{ケ}=4,\ \text{コ}=-,\ \text{サ}=1,\ \text{シ}=2,\ \text{ス}=2}.$$

agraph{(2) 三角関数} 周期 $4$、$6$ の角速度はそれぞれ $\pi/2$、$\pi/3$ である。 $$\displaystyle f(x)=p\sin\frac{\pi x}{2}+q\cos\frac{\pi x}{2} +r\sin\frac{\pi x}{3}+s\cos\frac{\pi x}{3}.$$ $f(3)=-5/2$ から $p+s=5/2$。また $$\displaystyle f'(x)=\frac\pi2\left(p\cos\frac{\pi x}{2} -q\sin\frac{\pi x}{2}\right) +\frac\pi3\left(r\cos\frac{\pi x}{3} -s\sin\frac{\pi x}{3}\right).$$ $f'(3)=0$ に代入すると $q/2-r/3=0$、すなわち $r=3q/2$。 $x=3/5$ では $\pi x/2=3\pi/10=\pi/2-\pi/5$、 $\pi x/3=\pi/5$ である。従って $f'(3/5)=0$ は $$\displaystyle \left(\frac p2-\frac s3\right)\sin\frac\pi5 +\left(-\frac q2+\frac r3\right)\cos\frac\pi5=0.$$ 後半は $r=3q/2$ から $0$ であり、$\sin(\pi/5)>0$ だから $s=3p/2$。$p+s=5/2$ より $p=1$, $s=3/2$ を得る。 さらに $f(1)=4$ より $$\displaystyle p+\frac{\sqrt3}{2}r+\frac12s=4 \quad\text{より}\quad r=\frac{3\sqrt3}{2},\qquad q=\sqrt3.$$ 以上から $$\displaystyle f(x)=\sin\frac{\pi x}{2}+\sqrt3\cos\frac{\pi x}{2} +\frac{3\sqrt3}{2}\sin\frac{\pi x}{3} +\frac32\cos\frac{\pi x}{3}.$$ 加法定理でまとめれば $$\displaystyle f(x)=2\sin\left(\frac{\pi x}{2}+\frac\pi3\right) +3\sin\left(\frac{\pi x}{3}+\frac\pi6\right).$$ 従って(2)の枠は $$\boxed{\text{ア}=2,\ \text{イ}=3,\ \text{ウ}=1,\ \text{エ}=3,\ \text{オ}=3,\ \text{カ}=3,\ \text{キ}=2,\ \text{ク}=3,\ \text{ケ}=2,\ \text{コ}=2,\ \text{サ}=3,\ \text{シ}=3,\ \text{ス}=6}.$$

agraph{(3) 勝敗確率と試合数} 各試合の $A$ の勝率を $p=1/3$、$B$ の勝率を $q=2/3$ とする。 3試合で $A$ が3勝リードして終了するのは $AAA$ だけなので $p^3=1/27$。3試合目で $A$ が1勝リードするのは $A$ の2勝1敗で、 $$\displaystyle \binom32p^2q=\frac29.$$ $B$ が1勝リードするのは $A$ の1勝2敗で、 $$\displaystyle \binom31pq^2=\frac49.$$

$A$ のリードが $j$ 勝の状態から最終的に $A$ が優勝する確率を $h_j$ とする。$h_{-3}=0$, $h_3=1$ であり、$-2\leq j\leq2$ では $$\displaystyle h_j=\frac13h_{j+1}+\frac23h_{j-1}.$$ 差 $\Delta_j=h_j-h_{j-1}$ を $j=-2,-1,0,1,2,3$ について置くと $\Delta_{j+1}=2\Delta_j$ となる。六つの差は $D,2D,4D,8D,16D,32D$。総和は $h_3-h_{-3}=1$ だから $63D=1$。初期状態は $j=0$ なので $$\displaystyle h_0=D+2D+4D=\frac7{63}=\frac19.$$

同じ状態から終了までの期待試合数を $t_j$ とすると $t_{-3}=t_3=0$ で、 $$\displaystyle t_j=1+\frac13t_{j+1}+\frac23t_{j-1} \qquad(-2\leq j\leq2).$$ $D_j=t_j-t_{j-1}$ と置けば $D_{j+1}=2D_j-3$、すなわち $D_{j+1}-3=2(D_j-3)$ である。六つの差は $3+C,3+2C,3+4C,3+8C,3+16C,3+32C$。 総和 $t_3-t_{-3}=0$ から $18+63C=0$、$C=-2/7$ であり、 $$t_0=(3+C)+(3+2C)+(3+4C)=9+7C=7.$$ 従って(3)の枠は $$\boxed{\text{ア}=1,\ \text{イ}=2,\ \text{ウ}=7,\ \text{エ}=2,\ \text{オ}=9,\ \text{カ}=4,\ \text{キ}=9,\ \text{ク}=1,\ \text{ケ}=9,\ \text{コ}=7}.$$

agraph{(4) 三角形を作る組と極限} 三つの異なる長さを $x<y<z$ とすると、三角形の条件は $x+y>z$ だけである。$z=7,y=6$ では $x=2,3,4,5$ の4通り。$z=7,y=5$ では $x=3,4$ の2通り。$z=7$ の残りの $y$ では条件を満たす $x$ がなく、最大値7の組は6通りである。 最大値6,5,4の組はそれぞれ4,2,1通り、最大値3以下は0通りだから $$a_7=6+4+2+1=13.$$ 一般に最大値を $z$、二番目を $y$ と固定すると、 $1\leq x<y<z$ かつ $x>z-y$ を満たす整数 $x$ の個数は $\displaystyle \max(0,2y-z-1)$ である。従って最大値 $z$ の組数は $$\displaystyle T_z=\sum\limits _{y=1}^{z-1}\max(0,2y-z-1) =\left\lfloor\frac{(z-2)^2}{4}\right\rfloor.$$ 実際、$z=2m$ なら正の項は $1,3,\ldots,2m-3$ で和は $(m-1)^2$、$z=2m+1$ なら $2,4,\ldots,2(m-1)$ で和は $m(m-1)$ となる。従って $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{z=3}^{n}\left\lfloor\frac{(z-2)^2}{4}\right\rfloor.$$ $u-1<\lfloor u\rfloor\leq u$ と平方和の公式から $$\displaystyle \frac14\sum\limits _{j=1}^{n-2}j^2-(n-2) < a_n \leq \frac14\sum\limits _{j=1}^{n-2}j^2, \qquad \sum\limits _{j=1}^{n-2}j^2=\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}6.$$ 両辺を $n^3$ で割り $n\to\infty$ とすれば、はさみうちで $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}=\frac1{12}.$$ 従って(4)の枠は $$\boxed{\text{ア}=4,\ \text{イ}=2,\ \text{ウ}=6,\ \text{エ}=1,\ \text{オ}=3,\ \text{カ}=1,\ \text{キ}=1,\ \text{ク}=2}.$$