III順天堂大学 2010年 数学 第III問解答・解説

III-(1)　 有理数とは、整数 $m,n$（$n\ne0$）を用いて $m/n$ と表せる数である。

III-(2)　 命題の「逆の裏」は対偶である。

III-(3)　 $\sqrt6$ は、二乗すると6となる正の実数として定義される。

III-(4)　 背理法で示す。$\sqrt6$ が有理数と仮定し、互いに素な正の整数 $m,n$ によって $\sqrt6=m/n$ と表す。このとき $m^2=6n^2$ だから、$m^2$ は素数2および3の倍数である。問題文の事実を $m^2=m\cdot m$ に用いると、2と3はいずれも $m$ を割り切る。よって6は $m$ を割り切り、$m=6k$ と書ける。元の式に代入すると $36k^2=6n^2$、すなわち $n^2=6k^2$。同じ事実から2と3はいずれも $n$ を割り切るので6は $n$ を割り切る。これは $m,n$ が互いに素であることに反する。従って仮定は誤りであり、$\sqrt6$ は無理数である。