1和歌山県立医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ と表せる。この両辺を二乗すると $$a^2=2b^2$$ となるので、$a^2$ は偶数である。奇数の平方は奇数だから $a$ は偶数であり、$a=2c$ とおける。これを代入すると $4c^2=2b^2$、すなわち $b^2=2c^2$ となるから、同じ理由で $b$ も偶数である。これは $a,b$ が互いに素であることに反する。したがって $\sqrt{2}$ は有理数ではない。

(2) 有理数 $x$ と自然数 $N$ が $x^2=N$ を満たすとする。$\displaystyle x=\dfrac{a}{b}$ と、$a$ は整数、$b$ は正の整数で $a,b$ が互いに素となるように表す。もし $b>1$ なら、$b$ を割る素数 $p$ がある。等式 $a^2=Nb^2$ より $p\mid a^2$ であるため、素数の性質から $p\mid a$ となり、$a,b$ が互いに素であることに反する。よって $b=1$ であり、$x=a$ は整数である。この議論は $N=0$ の場合も含む。

(3) 有理数 $x$ とその逆数との差が $0$ でない整数になると仮定する。逆数があるので $x\ne0$ であり、差の順序を $\displaystyle x-\dfrac1x$ としても符号を反転するだけなので、ある整数 $d\ne0$ に対し $$\displaystyle x-\frac1x=d$$ とおける。両辺に $x$ を掛けると $x^2-dx-1=0$ であり、平方完成して $$(2x-d)^2=d^2+4$$ を得る。ここで $2x-d$ は有理数で、$d^2+4$ は自然数だから、(2) より $m=2x-d$ は整数である。そこで $M=|m|$、$D=|d|$ とおくと、$D\ge1$ かつ $$M^2-D^2=4$$ である。したがって $M>D$。また、整数の平方は偶数なら $0$、奇数なら $1$ を $4$ で割った余りにもつので、この平方差が $4$ で割り切れることから $M,D$ は同じ偶奇である。ゆえに $M-D$ と $M+D$ は正の偶数であり、 $$(M-D)(M+D)=4$$ を満たす。積が $4$ である正の偶数二つはともに $2$ しかないが、その場合 $(M+D)-(M-D)=2D=0$ となり、$D\ge1$ に反する。したがって、そのような有理数は存在しない。

検算として、因数の条件が許す境界 $D=0$ は $d=0$ に当たる。この場合、元の式は $\displaystyle x-\dfrac1x=0$、すなわち $x^2=1$ となり、$x=1,-1$ はいずれも差が確かに $0$ である。したがって因数分解で残る場合は問題の「$0$ でない」という条件から除かれる。