3和歌山県立医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

（1）正五角形の各内角は、内角の和が $3\times180^\circ=540^\circ$ であることから $108^\circ$ である。また、外接円の隣り合う頂点に対する中心角は $360^\circ/5=72^\circ$ である。

(i) $\angle AEB$ は弧 $AB$ に対する円周角、$\angle BEC$ は弧 $BC$ に対する円周角である。$AB=BC$ だからこれらの弧は等しく、したがって $$\angle AEB=\angle BEC=36^\circ.$$ 正五角形の対角線はすべて等しいので $BE=CE$ である。よって二等辺三角形 $BCE$ の底角は $$\displaystyle \angle EBC=\angle BCE=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$ 一方、$\angle BCD=108^\circ$ だから $\angle EBC+\angle BCD=180^\circ$ である。直線 $BC$ を横切る直線 $BE,CD$ の同側内角の和が $180^\circ$ なので、$BE\parallel CD$ である。

(ii) 対角線の長さを $d$ とする。$P$ を対角線 $AC$ と $BE$ の交点とする。対角線どうしは正五角形の内部で交わるので、$A,P,C$ はこの順に一直線上にある。

$AB=BC=1$、$AB=AE$、$AB=BC$ より、二等辺三角形 $ABE$ の底角と二等辺三角形 $ABC$ の底角はいずれも $36^\circ$ である。したがって $\triangle ABP$ の角は $36^\circ,36^\circ,108^\circ$ となり、$\triangle ABE$ と相似である。対応を $A\leftrightarrow E, B\leftrightarrow B, P\leftrightarrow A$ とすると、$AB=1$ は $EB=d$ に対応するから、相似比は $1/d$ であり、$AP=AE/d=1/d$ である。

また、$\triangle BCP$ では $\angle BCP=\angle BCA=36^\circ$、$\angle CBP=\angle CBE=72^\circ$ である。よって $\triangle BCP\sim\triangle BCE$（対応は $B\leftrightarrow B, C\leftrightarrow E, P\leftrightarrow C$）である。$BC=1$ は $BE=d$ に対応するので、相似比は $1/d$ であり、$CP=CE/d=1$ となる。ゆえに $$\displaystyle d=AC=AP+PC=\frac1d+1, \qquad d^2-d-1=0.$$ $d>0$ だから $\displaystyle d=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ であり、$\displaystyle CE=d=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ である。

$AF\perp CD$ かつ $BE\parallel CD$ より $AF\perp BE$ である。したがって $F$ は二等辺三角形 $ABE$ の底辺 $BE$ への垂線の足であり、$BF=BE/2=d/2$ である。直角三角形 $ABF$ に三平方の定理を用いると $$\displaystyle AF^2=AB^2-BF^2=1-\frac{d^2}{4} =1-\frac{3+\sqrt5}{8} =\frac{5-\sqrt5}{8}.$$ $AF>0$ より $\displaystyle AF=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}$ である。

（2）$\displaystyle \phi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ とおく。$P$ は実係数多項式だから、$i\phi$ が解ならその共役 $-i\phi$ も解である。この二点 $(0,\phi),(0,-\phi)$ を結ぶ弦の垂直二等分線は実軸なので、正五角形の中心を $O=(h,0)$ と書ける。外接円の半径を $R$ とすると、この弦の中点は原点である。

二頂点の中心角は、隣り合う場合の $72^\circ$ または一頂点を隔てる場合の $144^\circ$ のいずれかである。中心角を $\delta$ とすれば、弦の中点までの距離から $|h|=R\cos(\delta/2)$ である。まず $\delta=72^\circ$ とすると、$h>0$ の場合、弦の端点は $O$ から見て $144^\circ,216^\circ$ の方向にあり、残る頂点は $0^\circ,72^\circ,288^\circ$ の方向にある。この三点の実部はすべて正で、負の実部をもつ頂点はない。$h<0$ の場合は端点が $36^\circ,324^\circ$、残る頂点が $108^\circ,180^\circ,252^\circ$ の方向にあり、残る三点の実部がすべて負となる。いずれも「実部が負となる解がただ一つ」に反する。

したがって $\delta=144^\circ$ である。このとき $h<0$ なら、端点以外の方向は $0^\circ,144^\circ,216^\circ$ で、後二点の実部が負となるため、負の実部の解が二つある。ゆえに $h>0$ でなければならない。この場合、頂点の方向は $36^\circ,108^\circ,180^\circ,252^\circ,324^\circ$ であり、$i\phi,-i\phi$ はそれぞれ $108^\circ,252^\circ$ の位置にある。残る頂点を $r,u+iv,u-iv$ と書くと、$r<0$、$u>0$、$v>0$ であり、方向から $r$ は $108^\circ,252^\circ$ の両頂点に隣接し、$u\pm iv$ は互いに隣接し、$u+iv$ は $i\phi$ に隣接する。

(1) で求めた対角線と辺の比は $\phi$ である。いま対角線 $i\phi$ と $-i\phi$ の長さは $2\phi$ だから、正五角形の辺の長さは $2$ である。隣り合う $u+iv,u-iv$ の距離は $2v$ なので $2v=2$、よって $v=1$ である。また、隣り合う $r$ と $i\phi$ の距離、および $u+i$ と $i\phi$ の距離はいずれも辺の長さ $2$ であるから $$r^2+\phi^2=4,\qquad u^2+(\phi-1)^2=4.$$ $r<0,u>0$ と $\displaystyle \phi^2=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$、$\displaystyle (\phi-1)^2=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ より $$\displaystyle r=-\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}=-\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}2, \qquad u=\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2}}.$$ 検算として、得られた座標は $$r^2+\phi^2=4,\qquad u^2+(\phi-1)^2=4,\qquad |(u+i)-(u-i)|=2$$ を満たす。すなわち、頂点の順に隣り合う点どうしの距離はすべて辺長 $2$ である。また $r<0,u>0$ なので負の実部をもつ解は $r$ の一つだけであり、指定された $i\phi$ も含まれている。

したがって解は $i\phi,-i\phi,r,u+i,u-i$ である。五頂点は相異なる五根であり、$P$ は五次式だから、これらがすべての根である。よって、実数係数であることを確認しながら共役な二根ずつをまとめると $$\displaystyle P(x)=c(x-i\phi)(x+i\phi)(x-r)(x-u-i)(x-u+i) =c\left(x^2+\frac{3+\sqrt5}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}2\right)\left(x^2-\sqrt{10+2\sqrt5}\,x+\frac{7+\sqrt5}{2}\right),$$ ただし $c$ は $0$ でない実数である。最後の式の三因子は順に根 $\pm i\phi$、$r$、$u\pm i$ をもち、実係数であり、与えられた五頂点を過不足なく根にもつので、求める実数範囲での因数分解である。