5岐阜大学 2002年 数学 第5問解答・解説

(1) $z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおく。両辺は非負なので、元の等式を二乗しても同値である。 $$|z-4i|=2|z-i|$$ すなわち $$x^2+(y-4)^2=4\{x^2+(y-1)^2\}$$ すなわち $$x^2+y^2=4.$$ したがって $C$ は複素数平面で原点を中心とする半径 $2$ の円である。図には原点を中心に半径 $2$ の円を描けばよく，実軸との交点は $2,-2$，虚軸との交点は $2i,-2i$ である。

(2) $w=u+vi$ とおく。中点の条件は $\displaystyle w=\frac{z+ai}{2}$、すなわち $z=2w-ai$ である。(1)より $z$ が $C$ 上にあるための必要十分条件は $|z|=2$ であることから、 $$z\text{ が }C\text{ 上にある}$$ すなわち $$|2w-ai|=2$$ すなわち $$\displaystyle \left|w-\frac a2i\right|=1.$$ 逆に、この最後の式を満たす任意の $w$ に対して $z=2w-ai$ とおけば $|z|=2$ となり、中点条件も満たす。したがって $w$ の軌跡は，中心 $\displaystyle \frac a2i$，半径 $1$ の円である。

この円の中心と $C$ の中心との距離は $\displaystyle \frac{|a|}{2}$ である。半径 $2$ と $1$ の二円が接するのは，中心間距離が半径の和 $3$ または差 $1$ のときであるから、 $$\displaystyle \frac{|a|}{2}=3\quad\text{または}\quad\frac{|a|}{2}=1.$$ よって $|a|=6$ または $|a|=2$ となり、 $$\boxed{a=-6,-2,2,6}.$$ 前者は外接，後者は内接の場合であり，いずれも実際に接する。