4岐阜大学 2002年 数学 第4問解答・解説

まず部分分数分解すると、$\displaystyle \frac4{4-t^2}=\frac1{2-t}+\frac1{2+t}$であるから、$-2<x<2$において $\displaystyle f(x)=\int_0^x\left(\frac1{2-t}+\frac1{2+t}\right)dt=\log\frac{2+x}{2-x}$となる。$\displaystyle f'(x)=\frac4{4-x^2}>0$で、端点での極限はそれぞれ-$\infty$,$\infty$なので、fは実数全体を定義域とする逆関数をもつ。

(1)　 f(a)=2より $\displaystyle e^2=\frac{2+a}{2-a}$。これを解いて a=$\displaystyle \frac{2(e^2-1)}{e^2+1}$。

(2)　 y=f(g(x))とおくと $\displaystyle e^x=\frac{2+g(x)}{2-g(x)}$である。これをg(x)について解けば $\displaystyle g(x)=\frac{2(e^x-1)}{e^x+1}$。商の微分により $\displaystyle g'(x)=\frac{4e^x}{(e^x+1)^2}$。したがって $\displaystyle 4-4g'(x)=4-\frac{16e^x}{(e^x+1)^2}=\frac{4(e^x-1)^2}{(e^x+1)^2}=g(x)^2$。

(3)　 $0\le x\le2$で$g(x)\ge0$なので、回転体の体積は円板法により $\displaystyle V=\pi\int_0^2g(x)^2\,dx=\pi\int_0^2(4-4g'(x))\,dx=\pi(8-4g(2)+4g(0))$。$\displaystyle g(0)=0,\quad g(2)=\frac{2(e^2-1)}{e^2+1}$を代入すると、$\displaystyle V=8\pi\left(1-\frac{e^2-1}{e^2+1}\right)=\frac{16\pi}{e^2+1}$。