6岐阜大学 2002年 数学 第6問解答・解説

8回の表裏の結果列はすべて同様に確からしく、合計 $2^8=256$ 通りである。点数は表で1点増え、裏で1点減る。

(1) 終了時に0点となるには、表を $h$ 回とすると $4+h-(8-h)=0$。よって $h=2$ であり、結果列は $\displaystyle \binom82=28$ 通り。求める確率は $$\displaystyle \frac{28}{256}=\frac7{64}.$$

(2) 8回目に初めて0点になるには最後が裏で、その直前の7回後の点数が1点、さらにそれ以前はずっと正でなければならない。最初の7回は表2回・裏5回。点数から1を引いた高さを考えると、経路は高さ3から出発し、7歩後に高さ0に着く。初めて0点になる条件は、この高さが途中で負にならないことに当たる。

条件を付けない高さ3から0への7歩の経路は、上がる歩が2回なので $\displaystyle \binom72=21$ 通り。途中で負になる経路を数える。高さが初めて $-1$ になった時点まで、各上り歩を下り歩に、各下り歩を上り歩に入れ替えて反射する。この操作で、元の高さ3から0へ進む不適経路は、高さ $-5$ から0へ進む7歩の経路に一対一に対応する。逆に、高さ $-5$ から0への経路は必ず $-1$ を通るので、その最初の通過まで反射すれば元の不適経路が戻る。対応する経路は上り6歩・下り1歩だから $\displaystyle \binom76=7$ 通り。従って条件を満たす最初の7回は $21-7=14$ 通りで、確率は $$\displaystyle \frac{14}{256}=\frac7{128}.$$

(3) 0点に初めて達する時刻は、最初の4点から1点ずつ変化するため4,6,8回目のいずれか。 4回目なら最初の4回がすべて裏で、後の4回は自由なので16列。 6回目なら6回目が裏で、その直前5回は高さ3から0まで正の点数を保つ。条件なしの5歩では上り1歩で $\displaystyle \binom51=5$ 通り。不適経路は同じ反射対応で高さ $-5$ から0へ進む5歩となり、5歩すべて上りる1通り、すなわち $\displaystyle \binom55=1$ 通り。従って適切な5回の並びは5−1=4通り。6回目は裏、残り2回は自由だから16列。 8回目に初めて達する列は(2)より14列。 以上から0点に一度でも達する結果列は $16+16+14=46$ 通り。求める確率は $$\displaystyle \frac{46}{256}=\frac{23}{128}.$$