IV慶應義塾大学 2002年 数学 第IV問解答・解説

$p=4k+1$ は素数なので $p\ge5$、従って $k\ge1$ である。解 $(a,b,c)$ は正の整数で $$a^2+4bc=p$$ を満たす。解の集合は有限である。実際、$a^2<p$ であり、$bc=(p-a^2)/4$ も正の整数だから、$a,b,c$ はそれぞれ有限個の値しかとらない。

自然数に $0$ を含める流儀でも、$a=0$ なら $4\mid p$、$b=0$ または $c=0$ なら $p=a^2$ となって素数に矛盾する。従ってこの式を満たす各成分は正である。

手続きを $T$ と書く。

(1) 場合(i)での式の保存

$a<b-c$ なら $b-a-c>0$ なので、変換後の $$(a+2c,\ c,\ b-a-c)$$ も正の整数の組である。また $$\begin{aligned} (a+2c)^2+4c(b-a-c) &=a^2+4ac+4c^2+4bc-4ac-4c^2\\ &=a^2+4bc\\ &=p. \end{aligned}$$ 従って変換後も $(Q)$ を満たす。

(2) 境界条件が起きないこと

もし $a=b-c$ なら $$p=a^2+4bc=(b-c)^2+4bc=(b+c)^2.$$ $b+c\ge2$ なので右辺は $1$ より大きい平方数であり、素数 $p$ にならない。

もし $a=2b$ なら $$p=4b^2+4bc=4b(b+c),$$ よって $4$ の倍数となる。これは $p=4k+1$ に矛盾する。従って、どの解も $a=b-c$ または $a=2b$ ではない。

(3) 手続きで変化しない組

場合(i)で変化しないとすると、第1成分について $a+2c=a$ が必要だが、これは $c>0$ に反する。場合(iii)では $a-2b=a$ が必要となり、$b>0$ に反する。

場合(ii)で変化しないためには $$2b-a=a,$$ 従って $a=b$ である。このとき第3成分も $a-b+c=c$ となり、実際に変化しない。さらに $a=b$ は場合(ii)の条件 $b-c<a<2b$ を満たす。式 $(Q)$ は $$p=b^2+4bc=b(b+4c).$$ $p$ は素数で $b+4c>1$ だから、正の整数因子 $b$ は $1$ でなければならない。従って $b=a=1$、さらに $1+4c=p=4k+1$ より $c=k$ である。逆に $(1,1,k)$ は場合(ii)に属し、変化しない。

よって、変化しない組はただ1つで $$(a,b,c)=(1,1,k)$$ である。

(4) 2回続けたときと解の個数の偶奇

$b,c>0$ より $b-c<2b$ であり、(2)で等号の場合を除いたので、すべての解は場合(i)、(ii)、(iii)のちょうど1つに属する。

各場合について、次の手続きの分岐を確認する。

- 場合(i)で得る組を $(a',b',c')=(a+2c,c,b-a-c)$ とする。$a'=a+2c>2c=2b'$ なので次は場合(iii)であり、 $$T(a',b',c')=(a'-2b',\,a'-b'+c',\,b')=(a,b,c).$$ - 場合(ii)で得る組を $(a',b',c')=(2b-a,b,a-b+c)$ とする。このとき $$b'-c'=2b-a-c<a',\qquad a'=2b-a<2b',$$ なので次も場合(ii)であり、 $$T(a',b',c')=(2b'-a',\,b',\,a'-b'+c')=(a,b,c).$$ - 場合(iii)で得る組を $(a',b',c')=(a-2b,a-b+c,b)$ とする。このとき $$b'-c'=a-2b+c=a'+c>a',$$ なので次は場合(i)であり、 $$T(a',b',c')=(a'+2c',\,c',\,b'-a'-c')=(a,b,c).$$

従って $T$ を2回行うと必ず元の組に戻る。解の有限集合上で、変化しない組は(3)の1組だけであり、それ以外は異なる2組ずつの組に分かれる。よって解の総数は $$1+2r$$ という形であり、奇数である。

(5) $p$ を2つの平方の和として表す

解の集合を $X$ とする。(4)より $X$ の要素数は奇数である。また、写像 $$(a,b,c)\longmapsto(a,c,b)$$ は $(Q)$ を保ち、2回適用すると元に戻る。すなわち、$X$ 上のこの写像も、固定されない組を2組ずつ対応させる。

$|X|$ が奇数なので、この写像には少なくとも1つ固定される組がある。固定条件は $b=c$ である。その組について $$p=a^2+4bc=a^2+4b^2=a^2+(2b)^2.$$ ここで $a,b$ は正の整数である。従って所望の表示が得られる。

最終答案

1. 場合(i)の変換後も $(a+2c)^2+4c(b-a-c)=p$。 2. $a=b-c$ なら $p=(b+c)^2$、$a=2b$ なら $4\mid p$ となり、いずれも矛盾。 3. 唯一変化しない組は $(1,1,k)$。 4. 手続きは2回で元に戻り、解の総数は奇数。 5. 解を $b,c$ 交換で対応させると固定解 $b=c$ があり、$p=a^2+(2b)^2$。

使用した解法

整数の因数分解、素数の約数の性質、手続きの逆変換、有限集合上の対合による偶奇判定、および対称性を用いた。