III慶應義塾大学 2002年 数学 第III問解答・解説

$D$ は $x^2\le y\le1$ を満たす点全体だから、$0\le y\le1$ であり、$y$ を固定すると $-\sqrt y\le x\le\sqrt y$ である。点 $A=(-a,0)$ と $P=(x_1,y_1),Q=(x_2,y_2)$ に対して、三角形の面積は $$\displaystyle [APQ]=\frac12\left|(x_1+a)y_2-(x_2+a)y_1\right|.$$ $P,Q$ を入れ替えても面積は同じなので、以下では $y_1\le y_2$ としてよい。$u=\sqrt{y_1},v=\sqrt{y_2}$ とおけば $$0\le u\le v\le1,\quad -u\le x_1\le u,\quad -v\le x_2\le v.$$

(1) 最大となる点 $P,Q$

固定した $u,v$ に対して、面積の式で絶対値記号の中の式は $$a(v^2-u^2)+x_1v^2-x_2u^2.$$ ここで $a(v^2-u^2)\ge0$ であり、 $$-\bigl(uv^2+vu^2\bigr) \le x_1v^2-x_2u^2 \le uv^2+vu^2.$$ したがってこの式の絶対値は $$a(v^2-u^2)+uv^2+vu^2$$ 以下である。この上限は $x_1=u,\ x_2=-v$ とすれば達成される。よって固定した高さに対して最大にする点は放物線 $y=x^2$ 上の $P=(u,u^2)$、$Q=(-v,v^2)$ としてよい。

このとき面積の2倍は $$M(u,v)=a(v^2-u^2)+uv^2+u^2v =(a+u)v^2+u^2v-au^2.$$ $u$ を固定し、$G_u(v)=M(u,v)=(a+u)v^2+u^2v-au^2$ を $v$ の一変数関数とみる。すると $$G_u'(v)=2(a+u)v+u^2\ge0.$$ $a>0$ および $u,v\ge0$ より、固定した $u$ に対して $G_u$ は $u\le v\le1$ で単調に増加し、最大は $v=1$ で達成される。従って一方の点は $Q=(-1,1)$ である。もう一方は $P=(u,u^2)$ で、面積の2倍は $$F(u)=M(u,1)=a+u+(1-a)u^2,\qquad 0\le u\le1.$$

$0<a\le1$ なら $F'(u)=1+2(1-a)u>0$。$\displaystyle 1\le a\le\frac32$ なら $F'(u)$ は $u$ について減少し、その最小値は $u=1$ で $3-2a\ge0$ である。従って $\displaystyle 0<a\le\frac32$ では $u=1$ が最大点であり、 $$P=(1,1),\qquad Q=(-1,1)$$ （またはその入れ替え）となる。

$\displaystyle a>\frac32$ なら $F$ は下向きに開く二次関数であり、頂点 $$\displaystyle 0<u=\frac{1}{2(a-1)}<1$$ で最大となる。従って $$\displaystyle P=\left(\frac{1}{2(a-1)},\,\frac{1}{4(a-1)^2}\right),\qquad Q=(-1,1)$$ （またはその入れ替え）である。

(2) $S(a)$

上記の最大値を2で割れば $$\displaystyle S(a)= \begin{cases} 1,&0<a\le\frac32,\\[2mm] \displaystyle\frac12\left(a+\frac{1}{4(a-1)}\right) =\displaystyle\frac a2+\frac{1}{8(a-1)},&a>\frac32. \end{cases}$$ 後半では、頂点 $\displaystyle u=\frac{1}{2(a-1)}$ を $F(u)$ に代入して $$\displaystyle F(u)=a+\frac{1}{2(a-1)}-\frac{1}{4(a-1)} =a+\frac{1}{4(a-1)}$$ を用いた。

(3) グラフの概形と性質

概形は、$\displaystyle 0<a\le\frac32$ で $b=1$ の水平線、その後は $\displaystyle a=\frac32$ から水平な接線をもって上昇する曲線である。 ~~~text b ↑ / | ___/ 1| ○─────────────────────────────● | (0,1) は開点（a=0は定義域外） a=3/2 +────────────────────────────────────→ a ~~~

重要な性質は次の2点である。

1. $S(a)\ge1$ であり、最小値 $1$ は $\displaystyle 0<a\le\frac32$ の全域でとる。 2. $\displaystyle a>\frac32$ では $$\displaystyle S'(a)=\frac12-\frac{1}{8(a-1)^2}>0,\qquad S''(a)=\frac{1}{4(a-1)^3}>0.$$ 従ってこの範囲で単調増加かつ下に凸であり、$\displaystyle a=\frac32$ では左・右の導関数がともに $0$ で水平につながる。

最終答案

- (1) $\displaystyle 0<a\le\frac32$ では $P,Q=(1,1),(-1,1)$。$\displaystyle a>\frac32$ では $\displaystyle P,Q=\left(\frac{1}{2(a-1)},\frac{1}{4(a-1)^2}\right),(-1,1)$。いずれも $P,Q$ の交換を除く。 - (2) $$\displaystyle S(a)= \begin{cases} 1,&0<a\le\frac32,\\ \displaystyle\frac a2+\frac{1}{8(a-1)},&a>\frac32. \end{cases}$$ - (3) $b=1$ の水平部分から、$\displaystyle a=\frac32$ で水平接線を保って増加する下に凸の曲線へ移る。最小値は $1$、増加部分は単調増加である。

使用した解法

座標による三角形の面積表示、固定した高さでの一次式の最大化、二変数領域の一変数化、微分による二次関数の最大化を用いた。