6信州大学 2007年 数学 第6問解答・解説

$$\displaystyle m=a-\frac{a^2}{4}=\frac{a(4-a)}4$$ とおけば $m>0$ の範囲は $0<a<4$。このとき $$\displaystyle f(x)=\frac1{(x+a/2)^2+m}$$ なので、分母が最小となる $p=-a/2$ で最大値をとる。

(3) $t=x+a/2$ とおくと $f=(t^2+m)^{-1}$ であり $$\displaystyle f''(x)=\frac{2(3t^2-m)}{(t^2+m)^3}.$$ 分母は常に正で、分子は $t=\pm\sqrt{m/3}$ で符号が変わる。そのとき $y=3/(4m)$ だから $$\displaystyle Q,R=\left(-\frac a2\pm\frac12\sqrt{\frac{a(4-a)}3},\frac3{a(4-a)}\right).$$

(4) $P$ の高さは $1/m$、$Q,R$ の高さは $3/(4m)$、$QR=2\sqrt{m/3}$。よって $$\displaystyle [\triangle PQR]=\frac1{4\sqrt{3m}}.$$ さらに $$\displaystyle m=\frac{a(4-a)}4=1-\frac{(a-2)^2}{4}$$ は $0<a<4$ のとき $0<m\le1$ の範囲全体を動く。面積は $m=1$（$a=2$）で最小となり、 $$\displaystyle [\triangle PQR]_{\min}=\frac1{4\sqrt3}.$$ $m\to0^+$ では面積は上限なく増加するため、値域は $$\displaystyle [\triangle PQR]\ge\frac1{4\sqrt3}.$$

答え

$$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad&0<a<4,\\ (2)\quad&p=-\frac a2,\\ (3)\quad&Q,R=\left(-\frac a2\pm\frac12\sqrt{\frac{a(4-a)}3},\frac3{a(4-a)}\right),\\ (4)\quad&[\triangle PQR]\ge\frac1{4\sqrt3}. \end{aligned}$$