4信州大学 2007年 数学 第4問解答・解説

点 $A(a,a^2)$ での接線は $\ell_1:y=2ax-a^2$。これに垂直な、$A$ を通る直線は $$\displaystyle \ell_2:y=-\frac{x}{2a}+a^2+\frac12.$$ 放物線との交点の $x$ 座標は $$\displaystyle x^2=-\frac{x}{2a}+a^2+\frac12\quad\text{すなわち}\quad(x-a)\left(x+a+\frac1{2a}\right)=0.$$ 従ってもう一つの交点を $r=-a-1/(2a)$ とする。$a>0$ なので $r<a$。$r\le x\le a$ の範囲で直線から放物線を引いた差は $(x-r)(a-x)$。幅 $d=a-r=(4a^2+1)/(2a)$ とおくと $$\displaystyle S_1=\int_r^a(x-r)(a-x)dx=\int_0^d u(d-u)du=\frac{d^3}{6}=\frac{(4a^2+1)^3}{48a^3}.$$

$y$ 軸上で2直線に挟まれる長さは $(a^2+1/2)-(-a^2)=2a^2+1/2$、頂点 $A$ から $y$ 軸までの距離は $a$。従って $$\displaystyle S_2=\frac12a\left(2a^2+\frac12\right)=\frac{a(4a^2+1)}4.$$ $S_1=S_2^3$ に代入し、正の共通因子 $(4a^2+1)^3$ を消すと $1/(48a^3)=a^3/64$、すなわち $a^6=4/3$。条件 $a>0$ より唯一の解は $$\displaystyle a=\sqrt[6]{\frac43}.$$