4日本大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1) 交点では $ax=x^3-x$ だから $$x(x^2-a-1)=0.$$ $x>0$ より $x=\sqrt{a+1}$ であり、交点は $$\left(\sqrt{a+1},\,a\sqrt{a+1}\right).$$

(2) $r=\sqrt{a+1}$ とおく。$0<x<r$ では $$ax-(x^3-x)=x(a+1-x^2)>0$$ なので、領域 $D$ 全体の面積は $$\displaystyle \int_0^r \{(a+1)x-x^3\}\,dx =\frac{(a+1)r^2}{2}-\frac{r^4}{4} =\frac{(a+1)^2}{4}.$$ $x$軸より下にあるのは $0<x<1$ で、そこでは曲線 $y=x^3-x$ の下側の面積が $$\displaystyle |D_2|=\int_0^1(x-x^3)\,dx=\frac14.$$ 従って $$\displaystyle |D_1|=\frac{(a+1)^2}{4}-\frac14.$$ 条件 $|D_1|:|D_2|=24:25$ より $$\displaystyle \frac{(a+1)^2-1}{1}=\frac{24}{25}.$$ $a>0$ なので $a+1=7/5$、従って $a=2/5$。

(3) $a=2/5$ のとき $r=\sqrt{7/5}$。$0\le x\le1$ では縦の切片が $x$軸をまたぐので、回転断面は半径 $\displaystyle \max\{2x/5,x-x^3\}$ の円である。両者の大小が入れ替わる点は $$\displaystyle \frac{2x}{5}=x-x^3,\qquad x>0 \quad\text{より}\quad c=\sqrt{\frac35}.$$ $1\le x\le r$ では両曲線とも $x$軸より上にあり、回転断面は外半径 $2x/5$、内半径 $x^3-x$ の円環である。よって $$\displaystyle \frac V\pi= \int_0^c(x-x^3)^2\,dx+ \int_c^1\left(\frac{2x}{5}\right)^2\,dx+ \int_1^r\left\{\left(\frac{2x}{5}\right)^2-(x^3-x)^2\right\}\,dx.$$ $c^2=3/5,\ r^2=7/5$ を用いて各積分を計算すると $$\displaystyle \int_0^c(x-x^3)^2\,dx=\frac{76}{875}\sqrt{\frac35},\quad \int_c^1\left(\frac{2x}{5}\right)^2dx=\frac4{75}-\frac4{125}\sqrt{\frac35},\quad \int_1^r\left\{\left(\frac{2x}{5}\right)^2-(x^3-x)^2\right\}dx=\frac4{175}.$$ したがって $$\displaystyle V=\pi\left(\frac8{105}+\frac{48}{875}\sqrt{\frac35}\right) =\frac{\pi(1000+144\sqrt{15})}{13125}.$$