2日本大学 2008年 数学 第2問解答・解説

(1) 直線$l$を$x$軸とし、$P$を原点とする。円$O$の中心は$P$の真上にあり、半径1である。円$O_n$の中心は$Q_n$の真上にある。円の中心間距離は$1+r_n$、高さの差は$1-r_n$だから、三平方の定理により $$Q_nP^2=(1+r_n)^2-(1-r_n)^2=4r_n.$$ したがって$Q_nP=2\sqrt{r_n}$。同様に$Q_{n+1}P=2\sqrt{r_{n+1}}$。図のように$Q_{n+1}$は$Q_n$と$P$の間にあるので $$Q_nQ_{n+1}=Q_nP-Q_{n+1}P=2(\sqrt{r_n}-\sqrt{r_{n+1}}).$$

(2) $u=\sqrt{r_n}, v=\sqrt{r_{n+1}}$ とおく。二つの円の中心間距離は$r_n+r_{n+1}=u^2+v^2$、その水平距離は$Q_nQ_{n+1}=2(u-v)$、高さの差は$r_n-r_{n+1}=u^2-v^2$である。よって $$4(u-v)^2+(u^2-v^2)^2=(u^2+v^2)^2.$$ これを整理すると$(u-v)^2=u^2v^2$。図の順序から$u>v>0$なので$u-v=uv$、したがって $$\displaystyle \frac1{\sqrt{r_{n+1}}}=\frac1{\sqrt{r_n}}+1.$$ $r_1=1$より$1/\sqrt{r_n}=n$、ゆえに $$\displaystyle r_n=\frac1{n^2}.$$

(3) $\theta_n$は直線$O_nO_{n+1}$と水平線$l$のなす鋭角である。斜辺$O_nO_{n+1}$は$r_n+r_{n+1}$、隣辺は$Q_nQ_{n+1}=2(u-v)$だから $$\displaystyle \frac{1-\cos\theta_n}{\cos\theta_n}=\sec\theta_n-1 =\frac{u^2+v^2}{2(u-v)}-1 =\frac{(u-v)^2}{2uv} =\frac{uv}{2} =\frac1{2n(n+1)}.$$ ここで$u-v=uv$と$u=1/n,\ v=1/(n+1)$を用いた。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\theta_n}{\cos\theta_n} =\frac12\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\frac12.$$