1日本大学 2008年 数学 第1問解答・解説

(1) 円$C_1$ に外接する四角形では、各頂点から円への接線の長さが等しい。各頂点での接線部分を足し合わせると、向かい合う辺の和が等しく $$AB+CD=BC+DA$$ となる。よって $$3+4=2+DA$$ から $DA=5$ である。

(2) 円$C_2$に内接するので、対角の和は$180^\circ$である。$\angle ABC=\theta$とすれば$\angle ADC=180^\circ-\theta$。対角線$AC$について余弦定理を用いると、三角形$ABC$では $$AC^2=3^2+2^2-2\cdot3\cdot2\cos\theta=13-12\cos\theta,$$ 三角形$ADC$では $$AC^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos(180^\circ-\theta)=41+40\cos\theta.$$ 両式を等しくして $$13-12\cos\theta=41+40\cos\theta$$ より$\displaystyle \cos\theta=-\frac7{13}$を得る。

(3) $0<\theta<180^\circ$なので$\sin\theta>0$。したがって $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\left(-\frac7{13}\right)^2}=\frac{2\sqrt{30}}{13}.$$ 対角線$AC$で四角形を二つの三角形に分けると、その面積は $$\displaystyle \frac12\cdot3\cdot2\sin\theta+\frac12\cdot5\cdot4\sin(180^\circ-\theta) =13\sin\theta=2\sqrt{30}.$$