7自治医科大学 2015年 数学 第7問解答・解説

四角形 $ABCD$ は円に内接するから、対角 $\angle ABC=\theta$、$\angle ADC=180^\circ-\theta$ とおく。対角線 $AC$ を引く。円周角の定理より、二つの対角は補角である。

余弦定理を $\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ にそれぞれ用いると、 $$AC^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos\theta=13-12\cos\theta,$$ $$AC^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos(180^\circ-\theta)=41+40\cos\theta.$$ これらは同じ $AC^2$ なので、$13-12\cos\theta=41+40\cos\theta$、したがって $\displaystyle \cos\theta=-\frac{7}{13}$ である。$0^\circ<\theta<180^\circ$ より $\sin\theta>0$ だから、 $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{49}{169}}=\frac{2\sqrt{30}}{13}.$$ 四角形の面積は二つの三角形の面積の和であり、$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$ より、 $$\displaystyle S=\frac12\cdot2\cdot3\sin\theta+\frac12\cdot5\cdot4\sin(180^\circ-\theta)=13\sin\theta=2\sqrt{30}.$$ したがって $\displaystyle \frac{S}{\sqrt{30}}=2$。選択肢では $\text{サ}$ である。