18自治医科大学 2015年 数学 第18問解答・解説

$x+y+z=n$ を満たす非負整数の組を数えるため、$n$ 個の玉と仕切り2本を一列に並べる。左から仕切りで区切られた3区画に入る玉の個数が、それぞれ $x,y,z$ となる。この対応は一対一であり、全体は $n+2$ 個の位置から仕切りの位置を2つ選ぶことで決まるから $$\displaystyle f(n)=\binom{n+2}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$$ である。

$n\geq 0$ に対して $$\displaystyle f(n+1)-f(n)=\binom{n+3}{2}-\binom{n+2}{2}=n+2>0$$ だから、$f(n)$ は増加する。境目を調べると $$\displaystyle f(17)=\binom{19}{2}=171\leq185,\qquad f(18)=\binom{20}{2}=190>185.$$ したがって条件を満たす最小の整数は $a=18$ であり、$\displaystyle \dfrac{a}{2}=9$。選択肢では $9$ は（ワ）に当たる。