13自治医科大学 2015年 数学 第13問解答・解説

条件より、数列 $x-9,\ x,\ y-x$ は等差数列である。等差数列では中央の項の2倍が両端の項の和に等しいから、 $$2x=(x-9)+(y-x)=y-9,$$ したがって $y=2x+9$ である。

また、$x-6,\ x,\ y$ は等比数列であり、$x>6$ より初項 $x-6$ は0でない。よって中央の項の2乗は両端の項の積に等しく、 $$x^2=(x-6)y=(x-6)(2x+9).$$ これを整理すると $$0=x^2-3x-54=(x-9)(x+6),$$ したがって $x=9$ または $x=-6$ である。条件 $x>6$ より $x=9$ に限られ、$y=2\cdot9+9=27$ となる。このとき $y>0$ も満たす。

実際、2つの数列はそれぞれ $3,9,27$、$0,9,18$ となり、前者は公比3の等比数列、後者は公差9の等差数列である。したがって求める値は $$\displaystyle \frac{3y}{x}=\frac{3\cdot27}{9}=9.$$ 選択肢では $(\text{ワ})$ である。