23自治医科大学 2015年 数学 第23問解答・解説

解と係数の関係より， $$\displaystyle \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha =\frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2-(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)}{2} =\frac{9-9}{2}=0$$ である。したがって，3つの解をもつ方程式は $$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-3x^2-k=0$$ と書ける。ここで $x=y+1$ とおくと $$y^3-3y-(k+2)=0$$ となる。よって，$f(y)=y^3-3y$ とおけば，この方程式が異なる3つの実数解をもつ条件は，$f(y)=k+2$ が異なる3つの実数解をもつことである。

$f'(y)=3(y^2-1)$ より，$f$ は $y<-1$ で増加し，$-1<y<1$ で減少し，$y>1$ で増加する。また，$f(-1)=2$，$f(1)=-2$ である。したがって，水平線 $f(y)=c$ が3つの異なる交点をもつのは $-2<c<2$ のときに限る。端点では $$f(y)-2=(y-2)(y+1)^2,\qquad f(y)+2=(y+2)(y-1)^2$$ となり，それぞれ重解をもつ。

以上から $$-2<k+2<2$$ すなわち $-4<k<0$ である。よって $p=4$（選択肢ナ）。