2山形大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) $a_1,a_2<0$より、$f'(x)=3x^2+2a_1x+a_2$の判別式は$4a_1^2-12a_2>0$、根の積は$a_2/3<0$である。したがって根は正負に1つずつある。根の和は$-2a_1/3>0$だから、$\alpha+\beta>0$、すなわち$-\alpha<\beta$。

(2) $\beta<0<\alpha$であり、上に開く二次式$f'$は$0<x<\alpha$で負、$x>\alpha$で正である。よって$f$は$0\le x\le\alpha$で減少し、$f(x)\le f(0)=a_3<0$。一方、$x>\alpha$では$f$は増加し、$x\to+\infty$で$f(x)\to+\infty$。連続性より$x>\alpha$の範囲に根があり、この範囲では異なる$x$に対して$f(x)$が異なる値をとるので、その根はただ1つである。

(3) $$f(x)+f(-x)=2a_1x^2+2a_3.$$ $a_1<0,\ a_3<0$より、任意の実数$x$について右辺は負である。

(4) 正の根を$p$とする。(2)の増減から$p>\alpha$である。また(3)に$x=p$を代入すると$f(-p)+f(p)<0$であり、$f(p)=0$だから$f(-p)<0$。$p>\alpha$および(1)より$-p<-\alpha<\beta$。$x<\beta$では$f'(x)>0$なので、$x\le-p$なら$f(x)\le f(-p)<0$。

(5) $B_i=-b_i>0\ (i=1,2,3,4)$とおく。$t>0$について $$\displaystyle g(t)=t^4\left(1-h(t)\right),\qquad h(t)=\frac{B_1}{t}+\frac{B_2}{t^2}+\frac{B_3}{t^3}+\frac{B_4}{t^4}.$$ 各項は$t>0$で減少するので、$0<t_1<t_2$なら$h(t_1)>h(t_2)$となる。また、$\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}h(t)=+\infty$、$\displaystyle \lim\limits _{t\to+\infty}h(t)=0$。連続性により$h(t)=1$はただ1つの正の解をもち、これが$g(t)=0$の正の根$q$である。また$t>q$なら$h(t)<1$より$g(t)>0$。

さらに$x<0$なら $$g(x)-g(-x)=2x(b_1x^2+b_3)>0,$$ なぜなら$x<0$かつ$b_1x^2+b_3<0$だからである。最後に$x\le-q$とし$t=-x\ge q$とおくと、$g(t)\ge0$であり、上の不等式から$g(x)>g(-x)=g(t)\ge0$。したがって$g(x)>0$。