3山形大学 2015年 数学 第3問解答・解説

楕円上にあることから $$\displaystyle y_1^2=1-\frac{x_1^2}{4},\qquad 0<x_1<2.$$

(1) $B=(-\sqrt3,0)$なので $$\displaystyle |\overrightarrow{BP}|^2=(x_1+\sqrt3)^2+y_1^2 =\frac34x_1^2+2\sqrt3x_1+4 =\left(2+\frac{\sqrt3}{2}x_1\right)^2.$$ 右辺の平方根は正だから $$\displaystyle |\overrightarrow{BP}|=2+\frac{\sqrt3}{2}x_1.$$

(2) 同様に $$\displaystyle |\overrightarrow{AP}|^2=(x_1-\sqrt3)^2+y_1^2 =\left(2-\frac{\sqrt3}{2}x_1\right)^2.$$ $0<x_1<2$より $\displaystyle 2-\frac{\sqrt3}{2}x_1>0$。したがって $$\displaystyle |\overrightarrow{AP}|=2-\frac{\sqrt3}{2}x_1,\qquad |\overrightarrow{AP}|+|\overrightarrow{BP}|=4.$$

(3) 楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の点 $P(x_1,y_1)$における接線は $$\displaystyle \ell:\frac{x_1}{4}x+y_1y=1.$$

(4) $\ell$の法線ベクトルとして $\vec n=(x_1,4y_1)$をとる。楕円の条件より $$\overrightarrow{AP}\cdot\vec n =(x_1-\sqrt3)x_1+4y_1^2=4-\sqrt3x_1 =2|\overrightarrow{AP}|,$$ また $$\overrightarrow{BP}\cdot\vec n =(x_1+\sqrt3)x_1+4y_1^2=4+\sqrt3x_1 =2|\overrightarrow{BP}|.$$ よって $$\displaystyle \cos\angle(\overrightarrow{AP},\vec n) =\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec n}{|\overrightarrow{AP}||\vec n|} =\frac2{|\vec n|} =\frac{\overrightarrow{BP}\cdot\vec n}{|\overrightarrow{BP}||\vec n|} =\cos\angle(\overrightarrow{BP},\vec n).$$ 二つの角はいずれも $0$から$\pi$までの範囲にあるので, 角そのものも等しい。